Sottogruppi di Z/mZ

[simos93]

A lezione si è dimostrato che i sottogruppi di $ZZ$ $/$ $mZZ$ sono tutti e soli della forma $d$ $ZZ$ $/$ $mZZ$ dove $d|m$.
La dimostrazione procede come segue:
Si consideri $H Se $H!={\bar 0}$ si considera $d=min{\bar h in H | h>0}$ e si dimostra per questo d la doppia inclusione dell'uguaglianza $H=d$ $ZZ$ $/$ $mZZ$
1) $d in H => d+d=2d in H => 2d+d=3d in H => ... => xd in H$ $AA x in ZZ$ $/$ $mZZ$
Dunque $H supe d$ $ZZ$ $/$ $mZZ$
2) $\bar h in H$
$\bar h=\bar (qd+r)$ con $0<=r $\bar h=\bar (qd) + \bar r$
$\bar r in H$
$r=0$ perché d è il minimo.
Dunque $H sube d$ $ZZ$ $/$ $mZZ$
Questa dimostrazione però ci dice che i sottogruppi di $ZZ$ $/$ $mZZ$ sono della forma $d$ $ZZ$ $/$ $mZZ$ con d qualsiasi. Da nessuna parte si forza d ad essere un divisore di m. Cosa manca dunque? So che con il teorema di Lagrange il fatto che $d|m$ è immediato, ma a quanto dice il prof, dovrebbe essere immediato anche dalla dimostrazione di sopra. Grazie per l'aiuto.

[Maci86]

Se non divide allora è isomorfo al gruppo totale..

[Stickelberger]

@Maci86 Controesempio $m=2$ e $d=4$.

@simos93 Se prendi $h=m$, trovi che $r=0$ e quindi che $d$ divide $m$.

Se $d$ non divide $m$, allora $m ZZ$ non e' contenuto in $d ZZ$ e
la notazione $d ZZ$/$m ZZ$ non va molto bene.

In generale, il sottogruppo di $ZZ$/$m ZZ$ generato da $\bar{d}$ per
qualche intero $d$ e' uguale al sottogruppo generato da $\bar{d'}$
dove $d'=mcd(n,d)$ ed e' quindi uguale a $d' ZZ$/$m ZZ$.

[Maci86]

Ma il tuo non è un controesempio alla mia affermazione

[Stickelberger]

Non dici chi e' isomorfo al gruppo "totale" e puoi quindi sempre mantenere
che non e' un controesempio. Pensavo di averti capito e affermo solo
che il sottogruppo di $ZZ$/$m ZZ$ generato da $\bar d$ non e' il gruppo totale
quando $d=4$ e $m=2$. Anzi, e' il gruppo banale.

[vict85]

X Maci86 : Quello che, immagino, intendesse dire Stickelberger, è che se \(\displaystyle d>m>0 \) allora \(\displaystyle d \) non divide mai \(\displaystyle m \), d’altra parte \(\displaystyle d\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\) potrebbe non essere affatto isomorfo a \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z} = \mathbf{Z}_m \).

D’altra parte esiste un altro controesempio a ciò che dice Maci86; uno ben più importante. Infatti \(\displaystyle d\mathbf{Z}/m\mathbf{Z} \cong \mathbf{Z}/m\mathbf{Z} = \mathbf{Z}_m \) se e solo se \(\displaystyle (d,m) = 1 \). Pertanto nel caso in cui \(\displaystyle (d,m) \notin \{1, d, m\} \) si ha che \(\displaystyle d\not\mid m \) e al contempo \(\displaystyle d\mathbf{Z}/m\mathbf{Z} \cong \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} = \mathbf{Z}_n \) per un qualche \(\displaystyle n\mid m \).

In altre parole \(\displaystyle 6 \) non divide \(\displaystyle 8 \) ma \(\displaystyle 6\mathbf{Z}/8\mathbf{Z} \cong 3\mathbf{Z}/4\mathbf{Z} \cong \mathbf{Z}_4 \)