Sottogruppi di un gruppo ciclico finito

[thedarkhero]

Sia $G=$ un gruppo ciclico di ordine $r$.
Allora i suoi sottogruppi sono gli $$ con $d\NN$ e $d|r$

Per provarlo considero $H$ sottogruppo di $G$. $H$ deve contenere almeno l'unita' dunque non e' vuoto.
Allora $1=a^r\inH$ e posso considerare $d$ il minimo degli interi positivi $n$ tali che $a^n\inH$.
Devo mostrare che $=H$ (dimostrando la doppia inclusione) e che $d|r$.
Per mostrare la doppia inclusione ho che il generico elemento di $$ ovvero $(a^d)^k\inH$ $AAk\inZZ$ perche' $a^d\inH$ e $H$ e' sottogruppo: dunque $subeH$.
Mi rimane da mostrare che $Hsube$: sia $x\inH$, allora esiste $m\inZZ$ tale che $x=a^m$ perche' $H$ e' sottogruppo di $$; $m=dq+s$ con $0<=s,d$, segue che $x=a^m=a^(dq)a^s=a^s$ da cui $s=0$ perche' il minimo intero positivo $n$ tale che $a^n\inH$ e' $d$ e $s Quello che non mi e' chiaro e' perche' $a^(dq)a^s=a^s$?

[j18eos]

Io riscriverei meglio così: \(x=a^{dq}a^s\Rightarrow a^s=xa^{-dq}\in H\) da cui la tesi che sia \(s=0\)!

[thedarkhero]

Ah ottimo! Ora è chiaro grazie!!

[j18eos]

Prego, di nulla!