Sottogruppi di un gruppo abeliano
Salve a tutti,
Devo dimostrare che in un gruppo abeliano finito esistono sottogruppi di ordine d per ogni d divisore dell'ordine del gruppo.
So che usando il teorema fondamentale sui gruppi abeliani finiti risulta essere banale, ma non avendolo ancora fatto, preferirei dimostrazioni che ne facessero a meno.
Devo dimostrare che in un gruppo abeliano finito esistono sottogruppi di ordine d per ogni d divisore dell'ordine del gruppo.
So che usando il teorema fondamentale sui gruppi abeliani finiti risulta essere banale, ma non avendolo ancora fatto, preferirei dimostrazioni che ne facessero a meno.
Risposte
Puoi usare il teorema di Sylow, che ti dice che in un gruppo finito [tex]G[/tex], se [tex]q[/tex] è una potenza di primo che divide [tex]|G|[/tex] allora [tex]G[/tex] ha sottogruppi di ordine [tex]q[/tex]. Siccome ogni divisore di [tex]|G|[/tex] è un prodotto di potenze di primo, usando questo teorema puoi realizzare il tuo sottogruppo come un prodotto diretto.
Induzione rispetto a $d$: Sia $p$ un divisore primo di $d$.
Per Cauchy c’e’ un elemento $x$ di ordine $p$ in $G$.
Per l'ipotesi induttiva il gruppo quoziente $G$/$\langle x\rangle$
ha un sottogruppo $H$ di ordine $d$/$p$.
Allora $\pi^{-1}(H)$ e’ un sottogruppo di ordine $d$ di $G$.
Qua $\pi$ indica l’omomorfismo canonico $G\rightarrow G$/$\langle x\rangle$.
Per Cauchy c’e’ un elemento $x$ di ordine $p$ in $G$.
Per l'ipotesi induttiva il gruppo quoziente $G$/$\langle x\rangle$
ha un sottogruppo $H$ di ordine $d$/$p$.
Allora $\pi^{-1}(H)$ e’ un sottogruppo di ordine $d$ di $G$.
Qua $\pi$ indica l’omomorfismo canonico $G\rightarrow G$/$\langle x\rangle$.
Ok.. Grazie mille ad entrambi..
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