Sottogruppi di Sylow nel gruppo simmetrico
Ciao!!
vi chiedo di aiutarmi in un esercizio sui gruppi..mi blocco già al primo punto.
L'esercizio chiede di costruire un 2-sottogruppo di Sylow di $S_4$.
So che in $S_4$ ci sono 2-sylow di ordine $8$ e 3-sylow di ordine $3$
Detti $n_2$ e $n_3$ il numero di 2-sylow e dei 3-sylow, applicando i teoremi si ha $n_2=1,3$, $n_3=1,4$.
Le varie possibilità possono essere $(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)$ ; dove le coppie sono $(n_2,n_3)$.
e ora non so più a come ragionare..
in più una volta determinati $n_2$ e $n_3$ come li costruisco esplicitamente?..ho già letto vari post nel sito che parlano di sottogruppi di Sylow, ma ancora non capisco
vi chiedo di aiutarmi in un esercizio sui gruppi..mi blocco già al primo punto.
L'esercizio chiede di costruire un 2-sottogruppo di Sylow di $S_4$.
So che in $S_4$ ci sono 2-sylow di ordine $8$ e 3-sylow di ordine $3$
Detti $n_2$ e $n_3$ il numero di 2-sylow e dei 3-sylow, applicando i teoremi si ha $n_2=1,3$, $n_3=1,4$.
Le varie possibilità possono essere $(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)$ ; dove le coppie sono $(n_2,n_3)$.
e ora non so più a come ragionare..
in più una volta determinati $n_2$ e $n_3$ come li costruisco esplicitamente?..ho già letto vari post nel sito che parlano di sottogruppi di Sylow, ma ancora non capisco
Risposte
Intanto ti consiglio di leggere qui e qui. Poi, per trovare [tex]n_3[/tex] comincia col contare gli elementi di ordine [tex]3[/tex], e per trovare [tex]n_2[/tex] ricorda che il numero di coniugati di un sottogruppo [tex]H[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] è uguale all'indice del suo normalizzante in [tex]G[/tex]. Rifletti bene su questi spunti!
In $S_4$ ci sono $8$ elementi di ordine $3$.
quindi può essere $n_3=4$..ogni 3-sottogruppo sarà formato da $2$ elementi di ordine $3$ e l 'identità.Giusto?
..ho continuato a riflettere ma x il momento non riesco a fare altro!
quindi può essere $n_3=4$..ogni 3-sottogruppo sarà formato da $2$ elementi di ordine $3$ e l 'identità.Giusto?
..ho continuato a riflettere ma x il momento non riesco a fare altro!
so cos'è il normalizzante ma non saprei calcolarlo!
da ciò che ho letto dai link..(maratona problemi teoria dei gruppi), un $2$-Sylow di $S_5 $ è generato da tre 2-cicli, poiché ha ordine $8$.
Se vale lo stesso ragionamento, anche se ancora non so chi è $n_2$, un $2$-Sylow di $S_4 $ è generato da tre 2-cicli,o da un $2$-ciclo e un $ 4$-ciclo.. poiché ha sempre ordine $8$.
Il prodotto di un 4-ciclo e un 2-ciclo darebbe luogo a un 3-ciclo..sono ammessi 3-cicli in un 2-sottogruppo?(in $S_5$ no, ma è un fatto generale?)
Il prodotto di due 2-cicli invece da luogo a un 4-ciclo...
e ora? ho detto bagianate?
da ciò che ho letto dai link..(maratona problemi teoria dei gruppi), un $2$-Sylow di $S_5 $ è generato da tre 2-cicli, poiché ha ordine $8$.
Se vale lo stesso ragionamento, anche se ancora non so chi è $n_2$, un $2$-Sylow di $S_4 $ è generato da tre 2-cicli,o da un $2$-ciclo e un $ 4$-ciclo.. poiché ha sempre ordine $8$.
Il prodotto di un 4-ciclo e un 2-ciclo darebbe luogo a un 3-ciclo..sono ammessi 3-cicli in un 2-sottogruppo?(in $S_5$ no, ma è un fatto generale?)
Il prodotto di due 2-cicli invece da luogo a un 4-ciclo...
e ora? ho detto bagianate?
I 2-Sylow di [tex]S_4[/tex] hanno indice 3 (primo), e il loro normalizzante li contiene, quindi o i 2-Sylow sono normali oppure coincidono col loro normalizzante.
Per quanto riguarda la struttura dei 2-Sylow, ti consiglio di pensare alle azioni del gruppo diedrale di ordine 8 (cf. i link che ti ho segnalato).
Per quanto riguarda la struttura dei 2-Sylow, ti consiglio di pensare alle azioni del gruppo diedrale di ordine 8 (cf. i link che ti ho segnalato).
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