Sottogruppi di s3 e s4
ciao a tutti , ho un esercizio che mi chiede di trovare tutti i sottogruppi di $S_3$ e $S_4$;
io lo risolverei in questo modo
per $S_3$ mi calcolerei tutti i possibili $2^3$ sottoinsiemi e per ognuno applico la definizione di sottogruppo e vedo se quel sottogruppo la rispetta.
stessa cosa per $S_4$ solo che i sottoinsiemi sono $2^4$
penso che in questo modo l'esercizio lo si svolga in maniera corretta, il problema è che facendolo cosi diventa molto lungo.
Vorrei sapere da voi se esiste un altro modo(magari facendo speciali considerazioni) per rendere lo svolgimento più corto.
Vi ringrazio in anticipo
io lo risolverei in questo modo
per $S_3$ mi calcolerei tutti i possibili $2^3$ sottoinsiemi e per ognuno applico la definizione di sottogruppo e vedo se quel sottogruppo la rispetta.
stessa cosa per $S_4$ solo che i sottoinsiemi sono $2^4$
penso che in questo modo l'esercizio lo si svolga in maniera corretta, il problema è che facendolo cosi diventa molto lungo.
Vorrei sapere da voi se esiste un altro modo(magari facendo speciali considerazioni) per rendere lo svolgimento più corto.
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
"matematicaforall":
per $S_3$ mi calcolerei tutti i possibili $2^3$ sottoinsiemi e per ognuno applico la definizione di sottogruppo e vedo se quel sottogruppo la rispetta.
stessa cosa per $S_4$ solo che i sottoinsiemi sono $2^4$
Pessima idea, e non solo perché il procedimento è lungo, soprattutto perché $S_3$ ha 6 elementi quindi $2^6$ sottoinsiemi, e $S_4$ ha $4! = 24$ elementi quindi $2^{24}$ sottoinsiemi
quindi il procedimento che hai pensato non è lungo, è virtualmente infinito (perlomeno per $S_4$).Ti dico cosa farei per $S_4$. Primo, osserverei che $S_4$ contiene dei sottogruppi "notevoli", che sono i tre 2-sottogruppi di Sylow, i quattro stabilizzatori dei punti (che contengono i 3-Sylow), e il gruppo alterno $A_4$. Puoi provare a mostrare che ogni sottogruppo proprio è contenuto in uno di essi. Fatto questo, ti sei ridotto a studiare i sottogruppi di questi sottogruppi notevoli, che sono del tipo $S_3$ o $D_8$ o $A_4$, il che è più semplice.
La lista di tutti i sottogruppi alla fine sarà comunque molto lunga, credo che l'idea della richiesta sia perlomeno cercare di capire cosa succede.
Per $S_3$ la questione è molto più semplice perché è chiaro che in questo caso siccome $S_3$ ha ordine $6$, ogni sottogruppo proprio non banale è un sottogruppo di Sylow.
ciao, ok scusami non ho capito il caso di $S_3$, potresti per favore esplicitare il sottogruppo?
Ti ringrazio
Ti ringrazio
$S_3 = \{1,(12),(13),(23),(123),(132)\}$.
Siccome $|S_3| = 6 = 2 \cdot 3$ i sottogruppi propri non banali hanno ordine 2 oppure 3.
Quindi i sottogruppi di $S_3$ sono $\{1\}$, $S_3$, $\{1,(12)\}$, $\{1,(13)\}$, $\{1,(23)\}$, $\{1,(123),(132)\}$.
Siccome $|S_3| = 6 = 2 \cdot 3$ i sottogruppi propri non banali hanno ordine 2 oppure 3.
Quindi i sottogruppi di $S_3$ sono $\{1\}$, $S_3$, $\{1,(12)\}$, $\{1,(13)\}$, $\{1,(23)\}$, $\{1,(123),(132)\}$.
ok scusami sono all'inizio dello studio dei gruppi , in particolare di Sn.
Un dubbio:
come dici tu l'ordine (numero degli elementi) del sottogruppo hanno ordine 2 o 3 però come fai a sapere che ad esempio che c'è il sottogruppo ${1,(123),(132)}$?
non ci potrebbe essere anche ${1,(123),(12)}$, quest'ultimo ovviamente è da escludere perché non c'è l'inverso di $(123)$, però per deciderlo bisogna prenderlo in considerazione e vedere se rispetta la definizione di sottogruppo oppure c'è qualche altro motivo per la quale lo si esclude?
Ti ringrazio ancora
Un dubbio:
come dici tu l'ordine (numero degli elementi) del sottogruppo hanno ordine 2 o 3 però come fai a sapere che ad esempio che c'è il sottogruppo ${1,(123),(132)}$?
non ci potrebbe essere anche ${1,(123),(12)}$, quest'ultimo ovviamente è da escludere perché non c'è l'inverso di $(123)$, però per deciderlo bisogna prenderlo in considerazione e vedere se rispetta la definizione di sottogruppo oppure c'è qualche altro motivo per la quale lo si esclude?
Ti ringrazio ancora
Se sei all'inizio dello studio dei gruppi penso che oltre al fatto che i sottogruppi propri non banali devono avere 2 o 3 elementi (per il teorema di Lagrange) non puoi usare purtroppo.
Dato che le cose stanno così, sì hai ragione, devi verificare che gli unici sottoinsiemi di 2 o 3 elementi che sono sottogruppi sono quelli che ho scritto. Ma questo non è impossibile se osservi che l'inverso di un 3-ciclo è anch'esso un 3-ciclo e l'inverso di un 2-ciclo è anch'esso un 2-ciclo. Quindi nessun sottoinsieme di tre elementi che contiene 1, un 2-ciclo e un 3-ciclo è un sottogruppo. Questa osservazione ti semplifica il lavoro.
In ogni caso se sei all'inizio credo che cercare i sottogruppi di $S_4$ sia frustrante, ti consiglio di immaginare i sottogruppi di cui ho parlato, in particolare lo stabilizzatore di 3, per esempio, è l'insieme delle permutazioni $f$ di $\{1,2,3,4\}$ che fissano 3, cioè tali che $f(3)=3$. Tale stabilizzatore è un sottogruppo di $S_4$ con sei elementi, puoi provare a scriverli.
Dato che le cose stanno così, sì hai ragione, devi verificare che gli unici sottoinsiemi di 2 o 3 elementi che sono sottogruppi sono quelli che ho scritto. Ma questo non è impossibile se osservi che l'inverso di un 3-ciclo è anch'esso un 3-ciclo e l'inverso di un 2-ciclo è anch'esso un 2-ciclo. Quindi nessun sottoinsieme di tre elementi che contiene 1, un 2-ciclo e un 3-ciclo è un sottogruppo. Questa osservazione ti semplifica il lavoro.
In ogni caso se sei all'inizio credo che cercare i sottogruppi di $S_4$ sia frustrante, ti consiglio di immaginare i sottogruppi di cui ho parlato, in particolare lo stabilizzatore di 3, per esempio, è l'insieme delle permutazioni $f$ di $\{1,2,3,4\}$ che fissano 3, cioè tali che $f(3)=3$. Tale stabilizzatore è un sottogruppo di $S_4$ con sei elementi, puoi provare a scriverli.
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