Sottogruppi di permutazioni
Salve a tutti, sono nuovo del forum. Ho un quesito da farvi.
Sto studiando la teoria di Galois, ma ho delle lacune riguardo la teoria dei gruppi.
Diciamo che riesco a trovare l'ordine del gruppo di Galois e so che ogni gruppo di Galois è un sottogruppo di un gruppo di permutazioni.
Quello che vorrei sapere è come si trovano i sottogruppi di un gruppo di permutazioni? Così da sapere a che gruppo è isomorfo il gruppo di Galois.
Grazie mille!
Sto studiando la teoria di Galois, ma ho delle lacune riguardo la teoria dei gruppi.
Diciamo che riesco a trovare l'ordine del gruppo di Galois e so che ogni gruppo di Galois è un sottogruppo di un gruppo di permutazioni.
Quello che vorrei sapere è come si trovano i sottogruppi di un gruppo di permutazioni? Così da sapere a che gruppo è isomorfo il gruppo di Galois.
Grazie mille!
Risposte
Puoi trovare semplicemente i sottogruppi ciclici propri del gruppo. Scegli un elemento del gruppo e lo componi con se stesso finché ottieni l'elemento neutro. Gli elementi che compariranno formeranno un sottogruppo del gruppo di permutazioni a cui ti riferisci. Ad esempio:
$S_3 = { id, (12), (23), (13), (123), (231) }$
Se prendi $r = (123)$, hai che:
$r^2=(231)$, $r^3= id$. Per cui il relativo sottogruppo ciclico è: $H = { id,r,r^2}$.
Mentre se prendi $s_1 = (12)$, hai che $s_1^2 = id$, e quindi $G = {id, s_1}$ è un sottogruppo ciclico.
Analogamente per $s_2 = (23)$, $s_3 = (13)$.
Questi sono gli unici sottogruppi propri di $S_3$.
Puoi vedere la corrispondenza di Galois qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _di_Galois
(secondo disegno)
$S_3 = { id, (12), (23), (13), (123), (231) }$
Se prendi $r = (123)$, hai che:
$r^2=(231)$, $r^3= id$. Per cui il relativo sottogruppo ciclico è: $H = { id,r,r^2}$.
Mentre se prendi $s_1 = (12)$, hai che $s_1^2 = id$, e quindi $G = {id, s_1}$ è un sottogruppo ciclico.
Analogamente per $s_2 = (23)$, $s_3 = (13)$.
Questi sono gli unici sottogruppi propri di $S_3$.
Puoi vedere la corrispondenza di Galois qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _di_Galois
(secondo disegno)
Inanzitutto grazie per la celere risposta.
Dunque credo di aver capito. Io ho gli zeri di un polinomio. G agisce sugli zeri come un automorfismo.
E manda zeri di un polinomio esclusivamente i zeri dello stesso polinomio. no?
Ma come li creo questi automorfismi? me li invento? cioè come capisco qual'è l'immagine dello zero? in che altro zero va?
Diciamo che il gruppo ha ordine 8. Ossia a 8 applicazioni. Io l'unica cosa che so che il gruppo è un sgr di un gruppo di permutazioni. Essendo 8 è il sgr di S4, no?
E quindi? che sgr è?
Garzie
Dunque credo di aver capito. Io ho gli zeri di un polinomio. G agisce sugli zeri come un automorfismo.
E manda zeri di un polinomio esclusivamente i zeri dello stesso polinomio. no?
Ma come li creo questi automorfismi? me li invento? cioè come capisco qual'è l'immagine dello zero? in che altro zero va?
Diciamo che il gruppo ha ordine 8. Ossia a 8 applicazioni. Io l'unica cosa che so che il gruppo è un sgr di un gruppo di permutazioni. Essendo 8 è il sgr di S4, no?
E quindi? che sgr è?
Garzie
così senza l'esempio esplicito è difficile da dirsi.. percè magari non posti l'esempio ed esponi i tuoi conti e dici dove ti blocchi?
Ok dunque.
Estensione Q\Q(√(1+√2)). Determinare il gruppo di Galois G(N|Q) dove N è la chiusura normale.
Allora trovo il polinomio minimo: X^4-2X^2-1. E fin qui.
Il polinomio minimo ha 4 zeri, li chiamo alfa, -alfa, beta, -beta. So che beta^2=-(alfa^2-2).
Quindi [N]=[Q(alfa,beta):Q]=[Q(alfa,beta):Q(alfa)][Q(alfa):Q]=2x4=8
Il gruppo di Galois perciò ha ordine 8, |G|=8 ==> E' un sottogruppo di S4 (8 divide 24).
Ora? quale sottogruppo è? Quali permutazioni di S4 devo scegliere?
Grazie
Estensione Q\Q(√(1+√2)). Determinare il gruppo di Galois G(N|Q) dove N è la chiusura normale.
Allora trovo il polinomio minimo: X^4-2X^2-1. E fin qui.
Il polinomio minimo ha 4 zeri, li chiamo alfa, -alfa, beta, -beta. So che beta^2=-(alfa^2-2).
Quindi [N]=[Q(alfa,beta):Q]=[Q(alfa,beta):Q(alfa)][Q(alfa):Q]=2x4=8
Il gruppo di Galois perciò ha ordine 8, |G|=8 ==> E' un sottogruppo di S4 (8 divide 24).
Ora? quale sottogruppo è? Quali permutazioni di S4 devo scegliere?
Grazie
scusa ma come fa a venirti 8??
tu hai che su $QQ(\alpha)$ il polinomio ha le due radici $\alpha, -\alpha$ adesso le altre radici sono le soluzioni di $x^2 -1+\sqrt{2}$ che lo ottieni dividendo $x^4-2x^2-1$ per $x^2-1-\sqrt{2}$... quindi per ottenere la chiusura normale cioè il campo di spezzamento... devi aggiungere una radice di $x^2 -1+\sqrt{2}$ perchè l'altra la ottieni automaticamente.... quindi hai che $[N]=4$
tu hai che su $QQ(\alpha)$ il polinomio ha le due radici $\alpha, -\alpha$ adesso le altre radici sono le soluzioni di $x^2 -1+\sqrt{2}$ che lo ottieni dividendo $x^4-2x^2-1$ per $x^2-1-\sqrt{2}$... quindi per ottenere la chiusura normale cioè il campo di spezzamento... devi aggiungere una radice di $x^2 -1+\sqrt{2}$ perchè l'altra la ottieni automaticamente.... quindi hai che $[N]=4$
No, dunque. Allora [Q(alfa):Q]=4 Dato che il polinomio minimo per trovare alfa è di grado 4.
beta è uno zero del polinomio f=X^2 + (alfa^2 - 2) appartenente a Q(alfa)[X].
Tale polinomio è irriducibile i suoi zeri sono complessi non reali e dunque f è il polinomio minimo di beta su Q(alfa).
Pertanto [N]=8.
I due beta (beta, -beta=beta coniugato) sono complessi e hanno la parte immaginaria cosa che non è presente in nessun elemento di Q(alfa). Non posso generare i da Q(alfa).
Comunque anche se avessi ragione il mio problema si pone ugualmente: "Come faccio a capire che sottogruppo del gruppo di permutazioni Sn è, conoscendone l'ordine?" (Voglio dire è un problema di Teoria dei Gruppi, poco a che vedere con Galois (anche se lui fu l'inventore dei gruppi..))
P.S.: Come fate a scrivere in codice?
beta è uno zero del polinomio f=X^2 + (alfa^2 - 2) appartenente a Q(alfa)[X].
Tale polinomio è irriducibile i suoi zeri sono complessi non reali e dunque f è il polinomio minimo di beta su Q(alfa).
Pertanto [N]=8.
I due beta (beta, -beta=beta coniugato) sono complessi e hanno la parte immaginaria cosa che non è presente in nessun elemento di Q(alfa). Non posso generare i da Q(alfa).
Comunque anche se avessi ragione il mio problema si pone ugualmente: "Come faccio a capire che sottogruppo del gruppo di permutazioni Sn è, conoscendone l'ordine?" (Voglio dire è un problema di Teoria dei Gruppi, poco a che vedere con Galois (anche se lui fu l'inventore dei gruppi..))
P.S.: Come fate a scrivere in codice?
si hai ragione tu..mi ero dimenticato che il polinomio era irriducibile.... in questo caso la questionesi risolve utilizzando la risolvente cubica.... ti consiglio di vedere http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf a pagina 39...
ciao ciao
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