Sottogruppi di ordine una potenza di un primo
Sia $G$ un gruppo di ordine $(p_1)^(r_1)*(p_2)^(r_2)*...*(p_t)^(r_t)$ con $p_i$ primo per $1<=i<=t$, $p_i!=p_j$ se $i!=j$ e $r_i>0$ per $1<=i<=t$.
Voglio mostrare che esistono $G_1,G_2,...,G_t$ sottogruppi di G di ordine rispettivamente $(p_1)^(r_1),(p_2)^(r_2),...,(p_t)^(r_t)$.
Posso definire il sottoinsieme $G_i={x\inG|"ordine"(x)=(p_i)^k,EEk\inNN_0}$.
Si tratta di un sottogruppo perchè contiene l'elemento neutro, il prodotto di ogni coppia di elementi contenuti in $G_i$ e l'inverso di ogni elemento contenuto in $G_i$.
So dunque che $G_i$ ha ordine che divide l'ordine di $G$ ovvero $(p_1)^(r_1)*(p_2)^(r_2)*...*(p_t)^(r_t)$.
Come posso provare che questa cardinalità è esattamente $(p_i)^(r_i)$?
Voglio mostrare che esistono $G_1,G_2,...,G_t$ sottogruppi di G di ordine rispettivamente $(p_1)^(r_1),(p_2)^(r_2),...,(p_t)^(r_t)$.
Posso definire il sottoinsieme $G_i={x\inG|"ordine"(x)=(p_i)^k,EEk\inNN_0}$.
Si tratta di un sottogruppo perchè contiene l'elemento neutro, il prodotto di ogni coppia di elementi contenuti in $G_i$ e l'inverso di ogni elemento contenuto in $G_i$.
So dunque che $G_i$ ha ordine che divide l'ordine di $G$ ovvero $(p_1)^(r_1)*(p_2)^(r_2)*...*(p_t)^(r_t)$.
Come posso provare che questa cardinalità è esattamente $(p_i)^(r_i)$?
Risposte
Piano piano, quello che dici (così come lo dici) è falso, per esempio il prodotto di due elementi di ordine 2 non ha come ordine necessariamente una potenza di due, per esempio nel gruppo simmetrico [tex]S_3[/tex] il prodotto [tex](12)(13) = (123)[/tex] ha ordine 3 (ho composto le permutazioni da sinistra a destra).
Ti suggerisco di leggere i teoremi di Sylow.
Ti suggerisco di leggere i teoremi di Sylow.
Hai ragione.
Per dimostrare che il prodotto di due elementi di ordine una potenza di un primo è un elemento di ordine una potenza di quel primo ho fatto uso della proprietà commutativa.
Se $x,y\inG_i$ allora $"ordine"(x)=(p_i)^h,EEh\inNN_0$ e $"ordine"(y)=(p_i)^k,EEk\inNN_0$.
Sia allora $m="max"{h,k}$, allora $(xy)^((p_i)^m)=x^((p_i)^m)y^((p_i)^m)=1*1=1$, dunque l'ordine di $xy$ divide $p_i^m$ ed essendo $p_i$ primo l'ordine di $xy$ deve essere potenza di $p_i$.
Rilancio dunque la domanda aggiungendo tra le ipotesi che il gruppo $G$ sia abeliano.
Per dimostrare che il prodotto di due elementi di ordine una potenza di un primo è un elemento di ordine una potenza di quel primo ho fatto uso della proprietà commutativa.
Se $x,y\inG_i$ allora $"ordine"(x)=(p_i)^h,EEh\inNN_0$ e $"ordine"(y)=(p_i)^k,EEk\inNN_0$.
Sia allora $m="max"{h,k}$, allora $(xy)^((p_i)^m)=x^((p_i)^m)y^((p_i)^m)=1*1=1$, dunque l'ordine di $xy$ divide $p_i^m$ ed essendo $p_i$ primo l'ordine di $xy$ deve essere potenza di $p_i$.
Rilancio dunque la domanda aggiungendo tra le ipotesi che il gruppo $G$ sia abeliano.
Se il gruppo è abeliano allora tutto quello che dici diventa vero, e per l'esistenza dei sottogruppi di Sylow puoi procedere per induzione: prendi un [tex]p[/tex]-sottogruppo non banale (ne esiste almeno uno per il teorema di Cauchy) e vai a quoziente. E senza sostanziali modifiche dimostri pure (sempre assumendo che [tex]G[/tex] sia abeliano) che per ogni divisore [tex]d[/tex] di [tex]|G|[/tex] esiste un sottogruppo di [tex]G[/tex] di ordine [tex]d[/tex], cioè che i gruppi abeliani finiti sono CLT (vedi qui).
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