Sottogruppi ciclici di gruppi diedrali
Dire quali trai gruppi $D_6$, $D_12$, $D_11$ contengono un sottogruppo ciclico di ordine $6$.
Con $D_n$ si denota il gruppo diedrale ${g,h; g^n=e, h^2=e, hg=g^(n-1)h}.
Essendo $o(D_n)=2n$ si ha subito, per Lagrange, che non esistono sottogruppi di ordine $6$ per $D_11$.
Mi costruisco $D_6$:
$D_6={g,h; g^6=e, h^2=e, hg=g^5h}={e,g,g^2,g^3,g^4,g^5,h,hg,hg^2,hg^3,hg^4,hg^5}$, da qui mi accorgo subito che $$$={e,g,g^2,g^3,g^4,g^5}$ è il sottogruppo ciclico cercato.
Similmente per $D_12$:
$D_12={g,h; g^12=e, h^2=e, hg=g^11h}={e,g,g^2,g^3,g^4,g^5,g^6,g^7,g^8,g^9,g^10,g^11,h,hg,hg^2,hg^3,hg^4,hg^5,hg^6,hg^7,hg^8,hg^9,hg^10,hg^11}$, e il sottogruppo ciclico di ordine $6$ si vede subito essere $$$={e,g^2,g^4,g^6,g^8,g^10}.
Credo che l'esercizio svolto così vada bene, ma se mi fosse stato chiesto di trovare quanti sono i sottogruppi ciclici di ordine $6$ a meno di isomorfismi, come potrei procedere? Devo per forza farmi tutti i conti per trovarli o esiste una formula che mi possa aiutare? Anche se credo che i sottogruppi ciclici di ordine $6$ nei due casi esposti sopra siano unici.
Grazie per l'aiuto. Ciao
Con $D_n$ si denota il gruppo diedrale ${g,h; g^n=e, h^2=e, hg=g^(n-1)h}.
Essendo $o(D_n)=2n$ si ha subito, per Lagrange, che non esistono sottogruppi di ordine $6$ per $D_11$.
Mi costruisco $D_6$:
$D_6={g,h; g^6=e, h^2=e, hg=g^5h}={e,g,g^2,g^3,g^4,g^5,h,hg,hg^2,hg^3,hg^4,hg^5}$, da qui mi accorgo subito che $
Similmente per $D_12$:
$D_12={g,h; g^12=e, h^2=e, hg=g^11h}={e,g,g^2,g^3,g^4,g^5,g^6,g^7,g^8,g^9,g^10,g^11,h,hg,hg^2,hg^3,hg^4,hg^5,hg^6,hg^7,hg^8,hg^9,hg^10,hg^11}$, e il sottogruppo ciclico di ordine $6$ si vede subito essere $
Credo che l'esercizio svolto così vada bene, ma se mi fosse stato chiesto di trovare quanti sono i sottogruppi ciclici di ordine $6$ a meno di isomorfismi, come potrei procedere? Devo per forza farmi tutti i conti per trovarli o esiste una formula che mi possa aiutare? Anche se credo che i sottogruppi ciclici di ordine $6$ nei due casi esposti sopra siano unici.
Grazie per l'aiuto. Ciao
Risposte
Vorrei capire solo una cosa: cosa sai sul gruppo diedrale a parte la presentazione che io, tra l'altro, segnerei come [tex]\langle s, r\mid r^n=e, s^2=e, srs=r^{-1}\rangle[/tex]. Una definizione più comoda ed indipendente dalla presentazione (e tra l'altro spesso usata) è quella geometrica di gruppo di trasformazione di un [tex]n[/tex]-gono regolare.
In ogni caso data la presentazione dovresti dimostrare solo che [tex]r[/tex] ha effettivamente ordine [tex]n[/tex]. Ma se tu non sai questo non puoi usare neanche il fatto che [tex]D_n[/tex] ha ordine [tex]2n[/tex] e neanche che quello è l'elenco degli elementi (le presentazioni sono molto scomode da usare). Se possiedi già questi dati allora tanto vale dire che il sottogruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex] esiste ed è normale (ha indice [tex]2[/tex]). I sottogruppi ciclici di ordine [tex]6[/tex] in [tex]D_6[/tex] e [tex]D_{12}[/tex] sono unici.
In ogni caso data la presentazione dovresti dimostrare solo che [tex]r[/tex] ha effettivamente ordine [tex]n[/tex]. Ma se tu non sai questo non puoi usare neanche il fatto che [tex]D_n[/tex] ha ordine [tex]2n[/tex] e neanche che quello è l'elenco degli elementi (le presentazioni sono molto scomode da usare). Se possiedi già questi dati allora tanto vale dire che il sottogruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex] esiste ed è normale (ha indice [tex]2[/tex]). I sottogruppi ciclici di ordine [tex]6[/tex] in [tex]D_6[/tex] e [tex]D_{12}[/tex] sono unici.
Hai ragione: la tua notazione
[tex]\langle s, r\mid r^n=e, s^2=e, srs=r^{-1}\rangle[/tex] è più corretta di quella da me usata ${g,h; g^n=e, h^2=e, hg=g^(n-1)h}$.
Per fornire l'elenco degli elementi, ad esempio di $D_6$ mi sono semplicemente calcolato gli elementi del gruppo generato da $g$ ed $h$ tenendo conto delle relazioni coinvolte, ossia $g^n=e, h^2=e, hg=g^(n-1)h$ quest'ultima equivalente a $hgh=g^(-1)$ e contandoli ho visto che sono $12$. Questo fatto è anche confermato dai vari manuali che ho consultato e che mi forniscono tutti $2n$ come ordine del gruppo $D_n$.
Cosa so dei gruppi $D_n$?
So che di sicuro $D_6$ e $D_12$ non possono essere abeliani.
Per il resto, cioè per le varie proprietà dei gruppi diedrali non saprei dire poi molto essendo pochissimi giorni che li sto studiando.
[tex]\langle s, r\mid r^n=e, s^2=e, srs=r^{-1}\rangle[/tex] è più corretta di quella da me usata ${g,h; g^n=e, h^2=e, hg=g^(n-1)h}$.
Per fornire l'elenco degli elementi, ad esempio di $D_6$ mi sono semplicemente calcolato gli elementi del gruppo generato da $g$ ed $h$ tenendo conto delle relazioni coinvolte, ossia $g^n=e, h^2=e, hg=g^(n-1)h$ quest'ultima equivalente a $hgh=g^(-1)$ e contandoli ho visto che sono $12$. Questo fatto è anche confermato dai vari manuali che ho consultato e che mi forniscono tutti $2n$ come ordine del gruppo $D_n$.
Cosa so dei gruppi $D_n$?
So che di sicuro $D_6$ e $D_12$ non possono essere abeliani.
Per il resto, cioè per le varie proprietà dei gruppi diedrali non saprei dire poi molto essendo pochissimi giorni che li sto studiando.
Il problema che dicevo prima è che se tu hai solo quella presentazione non puoi neanche a priori dire se quella presentazione descrive un gruppo non banale, che $s$ e $r$ hanno ordine rispettivamente $2$ e $n$ o che essi sono all'interno del gruppo elementi distinti. Le presentazioni che generalmente vengono date dei gruppi conosciuti ovviamente non fanno questi scherzi e quindi tu, a meno che non stia scrivendo una monografia su quel gruppo, difficilmente dovrai dimostrare che quella presentazione descrive quello che descrive.
Elencare gli elementi del gruppo come hai fatto tu non è proprio il metodo migliore ma è funzionale. Equivalentemente potevi costruirlo materialmente in altri modi. Per esempio costruirlo in $S_n$ o, ma non mi sembra il caso, di $GL(n,\RR)$. Inoltre spesso queste costruzioni permettono di dimostrare cose per $D_n$ più generali.
Detto questo $D_n$ ha ordine $2n$ e ha un gruppo ciclico normale di indice $2$ e quindi ordine $n$.
Elencare gli elementi del gruppo come hai fatto tu non è proprio il metodo migliore ma è funzionale. Equivalentemente potevi costruirlo materialmente in altri modi. Per esempio costruirlo in $S_n$ o, ma non mi sembra il caso, di $GL(n,\RR)$. Inoltre spesso queste costruzioni permettono di dimostrare cose per $D_n$ più generali.
Detto questo $D_n$ ha ordine $2n$ e ha un gruppo ciclico normale di indice $2$ e quindi ordine $n$.
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