Sottogruppi ciclici

[sradesca]

Ragazzi devo dimostrare che un sottogruppo H di un gruppo ciclico è ciclico. Ho trovato questa dimostrazione http://progettomatematica.dm.unibo.it/G ... 15/fr2.htm ma non ho capito perché ad un certo punto dice che $(a^h)^(-q) in H$; in sostanza in H ci sarà un elemento $a^k$ e il suo inverso $a^(-k)$ ora prendo un secondo elemento $a^m$ devo dimostrare che $(k,m)!=1$ma come faccio?

[Gi81]

Guarda che viene spiegato.
Sia $a^m in H$, con $m in ZZ$ generico.
SI divide $m$ per $h$ tramite divisione euclidea: $m = q*h +r$, con $q,r in ZZ$ e $0<=r
Si vuol dimostrare che $r=0$. Da questo segue che $m$ è multiplo di $h$, dunque la tesi.

Dimostriamo che $r=0$: $a^r = a^(m-qh)= a^m * (a^h)^-q$
Dato che $a^m in H$ (ipotesi) e $(a^h)^-q in H$, il loro prodotto appartiene ad $H$. Pertanto $a^r in H$.
Dato che $0<=r

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