Sottogruppi caratteristici di sottogruppi normali

[emilianor]

Salve a tutti.
Cerco un aiuto e/o suggerimento per risolvere il seguente problema:
siano N sottogruppo caratteristico di H, il quale è a sua volta sottogruppo normale di G; dimostrare che N è normale in G.

So che:
ogni elemento di Inn(G) manda H in sè stesso;
ogni elemento di Aut(H) manda N in sè stesso;
se riuscissi a dimostrare che ogni elemento di Inn(G) manda N in sè stesso avrei vinto......se ci riuscissi.....

Grazie.

[Studente Anonimo]

Ciao, benvenuto nel forum.

Ricorda che dato un qualunque [tex]g \in G[/tex] la funzione [tex]H \to H[/tex], [tex]h \mapsto g^{-1}hg[/tex] è un automorfismo di [tex]H[/tex].

[emilianor]

Accidenti che fessacchiotto che sono....grazie!

[emilianor]

Cioè, se ho ben capito, il fatto che la funzione da h a ghg^-1 sia un automorfismo di H, dato che N è caratteristico in H, mi dice che tutti gli elementi del tipo ghg^-1 appartengono ad N, quindi il coniugato di N coincide con N, da cui N è normale in G.
Giusto?
Grazie di nuovo.

[Studente Anonimo]

Sì, l'hai detto in modo un po' strano ma l'idea è quella: il coniugio è un automorfismo di [tex]H[/tex], quindi se un sottogruppo di [tex]H[/tex] è stabilizzato da tutti gli automorfismi di [tex]H[/tex] allora in particolare è stabilizzato dai coniugi, cioè è normale.