Sottogruppi caratteristici di S4
Buonasera a tutti,
devo dimostrare che $V_4$= gruppo dei doppi scambi di $S_4$ è un sottogruppo caratteristico di $A_4$, ma sono in un vicolo cieco:
Ho che $\theta$ ($A_4$) = 12 = $2^2$3 $=>$ per Sylow ho che esistono 2-Sylow e 3-Sylow, ed in questo caso $EE$! 2-Sylow e si tratta proprio di $V_4$ e, per la sua unicità posso affermare che $V_4$ è normale in $A_4$.
Il problema è questo: il fatto che sia normale non mi garantisce che sia un sottogruppo caratteristico.
Come posso procedere?
Grazie a tutti!
devo dimostrare che $V_4$= gruppo dei doppi scambi di $S_4$ è un sottogruppo caratteristico di $A_4$, ma sono in un vicolo cieco:
Ho che $\theta$ ($A_4$) = 12 = $2^2$3 $=>$ per Sylow ho che esistono 2-Sylow e 3-Sylow, ed in questo caso $EE$! 2-Sylow e si tratta proprio di $V_4$ e, per la sua unicità posso affermare che $V_4$ è normale in $A_4$.
Il problema è questo: il fatto che sia normale non mi garantisce che sia un sottogruppo caratteristico.
Come posso procedere?
Grazie a tutti!
Risposte
$V_4$ e' il sottogruppo dei commutatori di $A_4$.
"arnett":
Un Sylow normale è pure caratteristico. (Perché?)
Da un precedente esercizio ho dimostrato che dato un gruppo G,
se H è l'unico sottogruppo di cardinalità |H| $Rightarrow$ H è un sottogruppo caratteristico di G
è possibile che sia legato a questo?
Cioè $V_4$ è l'unico sottogruppo di cardinalità 4 di $A_4$ $Rightarrow$ $V_4$ è caratteristico?
"Stickelberger":
$V_4$ e' il sottogruppo dei commutatori di $A_4$.
Perdonami ma non ho capito il suggerimento
"IngegnerCane":
[quote="Stickelberger"]$ V_4 $ e' il sottogruppo dei commutatori di $ A_4 $.
Perdonami ma non ho capito il suggerimento[/quote]
Il sottogruppo dei commutatori di un qualsiasi gruppo e' caratteristico.
Si vede facilmente. E' molto piu' elementare della teoria di Sylow.
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