Sottocampi di C

[pier.paolo15]

Nello studio della teoria di Galois e dei problemi di costruzione con riga e compasso mi è sorto un dubbio che non sono riuscito a dipanare: ogni sottocampo $A$ di $\mathbb{C}$ è del tipo $B(i)$, con $B$ sottocampo di $\mathbb{R}$? A me sembrerebbe di sì, ma non ho trovato né dimostrazioni, né controesempi. Si noti che, se ciò fosse vero, necessariamente $B = A \cap \mathbb{R}$; infatti $A \cap \mathbb{R} = B(i) \cap \mathbb{R} = \{ b_0 + b_1 i : b_0, b_1 \in \mathbb{R} \} \cap \mathbb{R} = B$. Qualche suggerimento?

[Epimenide93]

Guarda che \(\mathbb{R}\) è un sottocampo di \(\mathbb{C}\)...

[killing_buddha]

Così come anche \(\mathbb Q\) e tutte le estensioni intermedie tra lui ed \(\mathbb R\)...

[Studente Anonimo]

Se capisco bene vuoi sapere se è vero che ogni sottocampo di [tex]\mathbb{C}[/tex] non contenuto in [tex]\mathbb{R}[/tex] contiene [tex]i[/tex]. Falso per esempio [tex]\mathbb{Q}(i \sqrt{3})[/tex] non contiene [tex]i[/tex] e non è contenuto in [tex]\mathbb{R}[/tex].

[pier.paolo15]

Perfetto, questo chiude la questione! Era molto più banale di quanto sembrasse