Sottoanello fondamentale
Ciao 
devo trovare il sotto anello fondamentale di $R:=M_2(ZZ_6)$
come definizione di sotto anello fondamentale uso $phi:n in ZZ -> n*1_R in R$ e definisco
dunque in questo caso $Ker(phi)$ non è altro che l'ideale generato dalla caratteristica dell'anello, nonché $6$ e quindi in poche parole quel quoziente sarà $ZZ_6$ e il sotto anello fondamentale sarà $ZZ_6$ a meno di isomorfismi.
Ha senso?
'sta cosa del sottoanello fondamentale mi pare troppo semplice..
devo trovare il sotto anello fondamentale di $R:=M_2(ZZ_6)$
come definizione di sotto anello fondamentale uso $phi:n in ZZ -> n*1_R in R$ e definisco
$E(R):=phi(ZZ)cong(ZZ)/(Ker(phi))$
dunque in questo caso $Ker(phi)$ non è altro che l'ideale generato dalla caratteristica dell'anello, nonché $6$ e quindi in poche parole quel quoziente sarà $ZZ_6$ e il sotto anello fondamentale sarà $ZZ_6$ a meno di isomorfismi.
Ha senso?
'sta cosa del sottoanello fondamentale mi pare troppo semplice..
Risposte
La caratteristica dell'anello delle matrici a coefficienti in $R$ è la stessa dell'anello $R$.
E questo lo so.
Però mi sembra troppo facile. Cioè il sottoanello fondamentale praticamente o è $ZZ$ se la caratt. è $0$ oppure è $ZZ_k$ se la caratteristica è $k$.
Quindi l’unica ricerca da fare è quella della caratteristica
Però mi sembra troppo facile. Cioè il sottoanello fondamentale praticamente o è $ZZ$ se la caratt. è $0$ oppure è $ZZ_k$ se la caratteristica è $k$.
Quindi l’unica ricerca da fare è quella della caratteristica
Prova a calcolare esplicitamente l'anello fondamentale di \(\displaystyle M_{2\times2}\left(\mathbb{Z}_6\right)\)!
è semplicemente $< I_2 >$ comunque ho dato algebra
"anto_zoolander":
è semplicemente $< I_2 >$ comunque ho dato algebra
Ti auguro di averlo passato, ma allo stesso tempo ti auguro di non aver detto questa cosa durante l'esame.
Si, passato
come no?
scusa $n|-> n((overline(1),overline(0)),(overline(0),overline(1)))$ e il sottoanello fondamentale quindi sarà del tipo
$E(R)={((overline(n),overline(0)),(overline(0),overline(n))) in R: n in ZZ}$
come no?
scusa $n|-> n((overline(1),overline(0)),(overline(0),overline(1)))$ e il sottoanello fondamentale quindi sarà del tipo
$E(R)={((overline(n),overline(0)),(overline(0),overline(n))) in R: n in ZZ}$
L'ideale generato dall'identità moltiplicativa in un anello è l'anello stesso. Tu volevi dire un'altra cosa, ma hai scritto $\langle 1\rangle$ (sì, io ti boccio se lo fai).
Ahahahah che sei esagerato! con $$ intendevo il sottogruppo additivo generato dall'unità, l'ideale lo avrei scritto come $(I_2)$
...e specifica; inoltre, t'avrei bocciato anch'io: confondi anello commutativo unitario con gruppo abeliano?!
Non l’ho confuso, c’è stato un refuso con me stesso
Ho detto ‘sottogruppo generato’ semplicemente perché ho scritto $$ ma è ovvio che si tratti di un anello unitario dove l’insieme coincide con il sottogruppo generato dall’unità.
Di fatto $< I_2 > = {n*I_2 | n inZZ}$
Non intendevo altro, giuro.
Ho detto ‘sottogruppo generato’ semplicemente perché ho scritto $
Di fatto $< I_2 > = {n*I_2 | n inZZ}$
Non intendevo altro, giuro.
Va bene...
Esercizio: in \(\displaystyle\mathbb{Z}\) calcola il sottoanello (commutativo unitario) e il sottogruppo generato da \(\displaystyle2\).
Esercizio: in \(\displaystyle\mathbb{Z}\) calcola il sottoanello (commutativo unitario) e il sottogruppo generato da \(\displaystyle2\).
L’unico sottoanello unitario di $ZZ$ è $ZZ$ stesso.
Mentre il sottogruppo è $2ZZ$(sottogruppo additivo)
Mentre il sottogruppo è $2ZZ$(sottogruppo additivo)
Esatto, e come vedi non coincidono! 
Non ho mai inteso che coincidessero 
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