Sottoanello e elementi invertibili.
Salve a tutti ragazzi, mi presento, sono Alessandro.
Tra pochi giorni ho l'esame di matematica e mi trovo in seria difficoltà.
Pian pianino, anche grazie a voi sto incominciando a capirci qualche cosa. Ma il problema è che non so risolvere molti esercizi.
In particolare mi servirebbe una mano a capire come si svolge questo esercizio, non so nemmeno da dove incominciare.
Vi ringrazio.
Si verifichi che $ A={3^rn; r in N, n in Z, n=Pari}$ è un sottoanello di $(Z, +, .)$ e che $1 in A$.
Si trovino gli elementi invertibili di $(A, +, .)$.
Tra pochi giorni ho l'esame di matematica e mi trovo in seria difficoltà.
Pian pianino, anche grazie a voi sto incominciando a capirci qualche cosa. Ma il problema è che non so risolvere molti esercizi.
In particolare mi servirebbe una mano a capire come si svolge questo esercizio, non so nemmeno da dove incominciare.
Vi ringrazio.
Si verifichi che $ A={3^rn; r in N, n in Z, n=Pari}$ è un sottoanello di $(Z, +, .)$ e che $1 in A$.
Si trovino gli elementi invertibili di $(A, +, .)$.
Risposte
Nessuno sa aiutarmi ragazzi?? L'esame è domani. 
Benvenuto nel forum.
Per mostrare che è un sottoanello devi mostrare che:
- una somma di due elementi di $A$ è ancora un elemento di $A$: scrivi i due elementi come $3^r n$ e $3^s m$ con $r le s$ e fai $3^r n+3^s m = 3^r (n+3^{s-r} m)$, e osservi che se $n$ e $m$ sono pari anche $n+3^{s-r}m$ è pari.
- l'opposto (rispetto a $+$) di un elemento di $A$ è ancora un elemento di $A$. (prova a farlo tu)
- $1 in A$. (prova a farlo tu)
- un prodotto di due elementi di $A$ è ancora un elemento di $A$. (prova a farlo tu)
Per mostrare che è un sottoanello devi mostrare che:
- una somma di due elementi di $A$ è ancora un elemento di $A$: scrivi i due elementi come $3^r n$ e $3^s m$ con $r le s$ e fai $3^r n+3^s m = 3^r (n+3^{s-r} m)$, e osservi che se $n$ e $m$ sono pari anche $n+3^{s-r}m$ è pari.
- l'opposto (rispetto a $+$) di un elemento di $A$ è ancora un elemento di $A$. (prova a farlo tu)
- $1 in A$. (prova a farlo tu)
- un prodotto di due elementi di $A$ è ancora un elemento di $A$. (prova a farlo tu)
Ti ringrazio Martino. Sfortunatamente non ho più tempo per esercitarmi, l'esame è domani mattina e devo andare a dormire presto. Ciao e grazie.
Ciao Martino. Sono tornato ad esercitarmi visto che l'esame, ovviamente, non è andato bene.
Grazie ai tuoi suggerimenti sono riuscito a verificare che il prodotto di 2 elementi di $A$ è ancora elemento di $A$, infatti:
$3^r n * 3^s m= 9^r^+^s *nm =>$ e se m e n sono pari allora anche $9^r^+^s *nm$ è pari.
Però non so come si trovano gli elementi invertibili di un Anello. Mi daresti un suggerimento?
Grazie ai tuoi suggerimenti sono riuscito a verificare che il prodotto di 2 elementi di $A$ è ancora elemento di $A$, infatti:
$3^r n * 3^s m= 9^r^+^s *nm =>$ e se m e n sono pari allora anche $9^r^+^s *nm$ è pari.
Però non so come si trovano gli elementi invertibili di un Anello. Mi daresti un suggerimento?
"Sandruz":Non basta, devi scrivere $3^r n * 3^s m$ nella forma $3^t d$ con t naturale e $d$ intero pari.
$3^r n * 3^s m= 9^r^+^s *nm =>$ e se m e n sono pari allora anche $9^r^+^s *nm$ è pari.
Però non so come si trovano gli elementi invertibili di un Anello. Mi daresti un suggerimento?L'eventuale inverso di un elemento $3^r n$ è un elemento $3^s m$ tale che $(3^r n) * (3^s m) = 1$. In altre parole devi risolvere l'equazione $3^{r+s} nm=1$ dove le incognite sono $s$ e $m$. Naturalmente, non sempre esisterà una soluzione. Quando esiste è unica e determina l'inverso di $3^r n$.
In questo particolare caso però 1 non appartiene ad A (come invece direbbe la consegna, e come ti ho detto di provare a dimostrare: scusami) quindi puoi dedurre automaticamente che nessun elemento di A è invertibile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo