Sottoanello di $CC$ isomorfo a $ZZ$

[Plepp]

Salve ragazzi, mi trovo un po' perplesso di fronte al seguente

Esercizio. Provare che l'insieme $ZZ : =\{a+ib | a,b\in ZZ\}$ è un sottoanello di $CC$. Dire se è un campo. Dire se è un anello isomorfo a $ZZ$.

Vabbé, i primi due passi sono semplici: si verifica facilmente, per esempio attraverso la caratterizzazione, che $ZZ $ è sottogruppo additivo di $CC$, ed è altrettanto semplice verificare la chiusura rispetto al prodotto tra numeri complessi. Osservando che, per esempio, $2\in ZZ$ non è invertibile, concludo che $ZZ$ non è un campo.
Il problema viene alla fine: come faccio a dimostrare che $ZZ \sim ZZ$ o meno? In questo caso, a me verrebbe da dire di no.

Ho pensato di risolvere così, ma mi pare un po' esagerato. Suppongo per assurdo che $\exists\varphi : ZZ \to \ZZ$ isomorfismo. Allora, $\forall z\in ZZ$, $\forall n\in NN$,
\[\varphi(z^n)=\varphi(z)^n \tag{P}\]
Inoltre, poichè $ZZ$ e $ZZ$ sono unitari, ovviamente, $\varphi(1)=1$. Suppongo ora che $\varphi(i)=a$, con $a\ne 1$ necessariamente (altrimenti non avrei più un'applicazione bigettiva). A questo punto ho
\[1=\varphi(1)=\varphi(i^4)\stackrel{(P)}{=}\varphi(i)^4=a^4\]
e sono giunto ad un assurdo. Che dite?

[Studente Anonimo]

Giusto, ma scritto così non va bene (il tuo [tex]a[/tex] potrebbe essere [tex]-1[/tex]).

Semplicemente, [tex]\varphi(i)^2 = -1[/tex] e [tex]\varphi(i) \in \mathbb{Z}[/tex], assurdo.

[Plepp]

Ciao Martino, grazie per la risposta Mmh...come faccio ad avere $a= -1$? A me pare che $\varphi(-1)=-1$ (che tra l'altro mi pare sia implicito in quello che hai scritto tu)...

[Studente Anonimo]

Eh, il problema è che l'ho scritto io, non tu

Tu (se capisco bene) hai detto: "detto [tex]a = \varphi(i)[/tex] si ha [tex]a \neq 1[/tex] e [tex]a^4=1[/tex], assurdo". Non vedo nessun assurdo, dato che anche [tex](-1)^4 = 1[/tex].

Mi correggi? Grazie

[Plepp]

Allora ripeto Sia $a : = \varphi(i)$. Sicuramente $a \ne 1$ per i ragionamenti fatti prima; inoltre (questo l'ho omesso prima ) $a \ne -1$ in quanto $-1 =\varphi(-1)$. Da $a^4 =1$ ho l'assurdo, essendo $a\ne 1$ e $a\ne -1$. Ci siamo?

P.S. $1$ e $-1$ a parte, esiste un "metodo" più semplice per provare che due anelli/gruppi/quant'altro NON sono isomorfi?

[Studente Anonimo]

"Plepp":Allora ripeto Sia $a : = \varphi(i)$. Sicuramente $a \ne 1$ per i ragionamenti fatti prima; inoltre (questo l'ho omesso prima ) $a \ne -1$ in quanto $-1 =\varphi(-1)$. Da $a^4 =1$ ho l'assurdo, essendo $a\ne 1$ e $a\ne -1$. Ci siamo?

Sì ci siamo, modulo il fatto (che stai dando per buono) che l'equazione [tex]X^4=1[/tex] ha in [tex]\mathbb{Z}[/tex] come uniche soluzioni [tex]1[/tex] e [tex]-1[/tex].

P.S. $1$ e $-1$ a parte, esiste un "metodo" più semplice per provare che due anelli/gruppi/quant'altro NON sono isomorfi?

Non c'è un metodo canonico, bisogna trovare una differenza tra due invarianti intrinseci alla teoria (degli anelli, in questo caso). Per esempio due anelli sono non isomorfi se non sono in biiezione (cioè hanno cardinalità diversa), oppure quando uno ammette un certo zero di un polinomio e l'altro no (come nel caso di cui abbiamo parlato), oppure uno ha tutti gli ideali principali/finitamente generati e l'altro no, oppure quando hanno gruppi delle unità non isomorfi, oppure quando uno ha nilpotenti/idempotenti non banali e l'altro no, oppure quando ne hanno in numero diverso, oppure quando i loro quozienti propri (risp. finiti) sono globalmente non gli stessi, eccetera eccetera eccetera. Due gruppi sono non isomorfi quando non sono in biiezione (cioè hanno cardinalità diversa), oppure quando non hanno gli stessi elementi con gli stessi ordini, oppure quando il numero o perfino reticolo dei sottogruppi (risp. normali/caratteristici) è diverso, oppure quando i loro centri o i quozienti sui centri sono non isomorfi (per esempio, uno è abeliano e l'altro no), oppure quando i loro sottogruppi derivati o i quozienti sui sottogruppi derivati sono non isomorfi (i.e. i loro quozienti abeliani sono globalmente non gli stessi), oppure quando uno ammette sottogruppi di indice finito e l'altro no, eccetera eccetera eccetera.