Sottoanelli non banali di Zm
ciao a tutti, sicuramente qualcosa mi sfugge
il mio libro di algebra definisce un sottoanello di (A,+,*) come
- un sottogruppo di (A,+,0)
- stabile rispetto a * (per ogni x,y € B, x*y € B)
- nel caso in cui A sia unitario, l'unità 1(diversa da 0) appartenga anch'essa a B.
sottoanelli banali sono {0} e A stesso.
subito dopo viene specificato che Zm (insieme degli interi relativi modulo m) non possiede sottoanelli non banali per m primo (parliamo si somma e prodotto classici per gli interi modulo m): ma per ogni m>0 (non per forza primo!) l'unità di Zm è [1] e dev'essere compresa nel sottoanello (come anche [0], elemento neutro di (Zm,+)): ora per ogni [a] € B dev'essere [1]+[a] = [1+a] € B, quindi Zm non può avere sottoanelli non banali perchè coincide per forza con Zm, cosa mi sono perso??
ad esempio preso Z4, [0] e [1] € B per definizione, [1]+[1] = [2] € B => [2]+[1] = [3] € B
B = Z4
il mio libro di algebra definisce un sottoanello di (A,+,*) come
- un sottogruppo di (A,+,0)
- stabile rispetto a * (per ogni x,y € B, x*y € B)
- nel caso in cui A sia unitario, l'unità 1(diversa da 0) appartenga anch'essa a B.
sottoanelli banali sono {0} e A stesso.
subito dopo viene specificato che Zm (insieme degli interi relativi modulo m) non possiede sottoanelli non banali per m primo (parliamo si somma e prodotto classici per gli interi modulo m): ma per ogni m>0 (non per forza primo!) l'unità di Zm è [1] e dev'essere compresa nel sottoanello (come anche [0], elemento neutro di (Zm,+)): ora per ogni [a] € B dev'essere [1]+[a] = [1+a] € B, quindi Zm non può avere sottoanelli non banali perchè coincide per forza con Zm, cosa mi sono perso??
ad esempio preso Z4, [0] e [1] € B per definizione, [1]+[1] = [2] € B => [2]+[1] = [3] € B
B = Z4
Risposte
Ciao.
E' una questione decisamente delicata, noi a lezione siamo stati avvisati che non c'è un'interpretazione univoca di queste cose, per cui bisogna andarci cauti.
Hai ragione, è ovvio che se metti la classe $1$ in una sottostruttura (tipo sottogruppo o sottoanello di $ZZ_n$) questa "scoppia" a tutta la struttura: e non è difficile capire il perchè: $1$ infatti è un generatore.
Tuttavia, uno può anche decidere di considerare sottoanelli non unitari; molti libri lo fanno. In questo caso, i conti ti tornano. Non so dirti bene il perchè, ma non tutti sono dello stesso parere, per cui alcuni testi considerano sottoanelli solo quelli con l'unità, altri no. Questo dà adito a diverse interpretazioni, anche di fatti importanti: prendi $ZZ$, l'anello (dominio) degli interi relativi. $2ZZ$ è un sottoanello? Se richiedi l'unità no, altrimenti sì.
A me è successa la stessa cosa sugli omomorfismi di anelli: il mio libro di testo "ufficiale" considera solo gli omomorfismi unitari (tali cioè che l'unità vada nell'unità) ma altri libri non richiedono questa condizione.
Insomma, spero di averti rassicurato un po' e di averti schiarito le idee (e soprattutto di non aver detto scemenze).
E' una questione decisamente delicata, noi a lezione siamo stati avvisati che non c'è un'interpretazione univoca di queste cose, per cui bisogna andarci cauti.
Hai ragione, è ovvio che se metti la classe $1$ in una sottostruttura (tipo sottogruppo o sottoanello di $ZZ_n$) questa "scoppia" a tutta la struttura: e non è difficile capire il perchè: $1$ infatti è un generatore.
Tuttavia, uno può anche decidere di considerare sottoanelli non unitari; molti libri lo fanno. In questo caso, i conti ti tornano. Non so dirti bene il perchè, ma non tutti sono dello stesso parere, per cui alcuni testi considerano sottoanelli solo quelli con l'unità, altri no. Questo dà adito a diverse interpretazioni, anche di fatti importanti: prendi $ZZ$, l'anello (dominio) degli interi relativi. $2ZZ$ è un sottoanello? Se richiedi l'unità no, altrimenti sì.
A me è successa la stessa cosa sugli omomorfismi di anelli: il mio libro di testo "ufficiale" considera solo gli omomorfismi unitari (tali cioè che l'unità vada nell'unità) ma altri libri non richiedono questa condizione.
Insomma, spero di averti rassicurato un po' e di averti schiarito le idee (e soprattutto di non aver detto scemenze).
grazie e mille
appunto, ma allora in questo contesto ha poco senso parlare di Zm con m primo, se la mancanza di sottoanelli non banali è verificata per ogni m > 1
appunto, ma allora in questo contesto ha poco senso parlare di Zm con m primo, se la mancanza di sottoanelli non banali è verificata per ogni m > 1
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