Sottoanelli e ideali
Dato $(A,+,*)$ anello.
Un suo ideale bilatero $I$ è anche un sottoanello?
Ero convinto di no, infatti dovrei avere:
(i) chiuso rispetto al prodotto.
(ii) chiuso rispetto alla somma.
(iii) chiuso rispetto all'opposto.
le prime due condizioni sono verificate per tutti gli ideali, mentre la terza non mi sembra scontato che valga quando l'anello non è unitario.
Però, citando wikipedia "Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti $ai$, dove $a$ è un elemento dell'anello e $i$ appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale"
Quindi mi è venuto il dubbio che per dimostrare (iii) non è richiesta l'unità.
Un suo ideale bilatero $I$ è anche un sottoanello?
Ero convinto di no, infatti dovrei avere:
(i) chiuso rispetto al prodotto.
(ii) chiuso rispetto alla somma.
(iii) chiuso rispetto all'opposto.
le prime due condizioni sono verificate per tutti gli ideali, mentre la terza non mi sembra scontato che valga quando l'anello non è unitario.
Però, citando wikipedia "Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti $ai$, dove $a$ è un elemento dell'anello e $i$ appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale"
Quindi mi è venuto il dubbio che per dimostrare (iii) non è richiesta l'unità.
Risposte
Non è vero che per essere sottoanello un sottoinsieme debba contenere l'opposto di ogni elemento (rispetto alla moltiplicazione), anche perché non è neppure detto che ci sia...
Si scusa sono stato poco chiaro, intendo rispetto all'addizione.
Convenzionalmente l'opposto rispetto alla moltiplicazione lo chiamo reciproco.
Convenzionalmente l'opposto rispetto alla moltiplicazione lo chiamo reciproco.
Allora non vedo il problema... l'unità per la quale si da la definizione di anello unitario è quella moltiplicativa, quindi con l'opposto c'entra poco.
Beh, supponendo che l'anello sia unitario posso dimostrare (iii) così:
Dato $a in I$, allora $(-1)a=-a in I$ per definizione di ideale. In questo modo dimostro che $I$ è chiuso rispetto l'opposto supponendo che l'anello abbia unità moltiplicativa.
Se l'anello è qualsiasi, non saprei come farlo vedere.
Dato $a in I$, allora $(-1)a=-a in I$ per definizione di ideale. In questo modo dimostro che $I$ è chiuso rispetto l'opposto supponendo che l'anello abbia unità moltiplicativa.
Se l'anello è qualsiasi, non saprei come farlo vedere.
Non serve farlo vedere... l'ideale ha quella caratteristica per definizone: $ (I,+) $ deve essere un sottogruppo di $ (A,+) $.
Ah, è vero.
Ricordavo male la definizione di ideale allora
Ricordavo male la definizione di ideale allora
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