Sottoalgebre booleane
Devo rispondere alle seguenti domande:
1) Un sottoanello di un anello booleano è necessariamente una sottoalgebra booleana ??
2) Se un sottoinsieme di un'algebra booleana risulta essere un reticolo complementato distributivo, è necessariamente anche una sottoalgebra booleana ??
3) Se un sottoinsieme di un'algebra booleana contiene 0 e 1 ed è chiuso rispetto a $^^$ e $vv$, allora è una sottoalgebra?
Le mie risposte:
1) No, perchè l'unità di un sottoanello non è necessariamente uguale all'unità dell'anello che lo contiene, mentre l'unità di una sottoalgebra è uguale all'unità dell'algebra booleana che la contiene.
2) No perchè un sottonsieme di un reticolo può essere a sua volta un reticolo senza costituire un sottoreticolo.
3) No perchè deve essere chiuso anche rispetto al complemento.
è giusto? Grazie mille.
1) Un sottoanello di un anello booleano è necessariamente una sottoalgebra booleana ??
2) Se un sottoinsieme di un'algebra booleana risulta essere un reticolo complementato distributivo, è necessariamente anche una sottoalgebra booleana ??
3) Se un sottoinsieme di un'algebra booleana contiene 0 e 1 ed è chiuso rispetto a $^^$ e $vv$, allora è una sottoalgebra?
Le mie risposte:
1) No, perchè l'unità di un sottoanello non è necessariamente uguale all'unità dell'anello che lo contiene, mentre l'unità di una sottoalgebra è uguale all'unità dell'algebra booleana che la contiene.
2) No perchè un sottonsieme di un reticolo può essere a sua volta un reticolo senza costituire un sottoreticolo.
3) No perchè deve essere chiuso anche rispetto al complemento.
è giusto? Grazie mille.
Risposte
4) Dare un esempio di una sottoalgebra $B$ di un'algebra booleana completa $A$ e di un insieme $E \subset B$ tale che l'estremo superiore $\bigvee E$ esista in $A$ ma non in $B$.
Ho pensato questo: l'insieme delle parti dei numeri naturali $P(NN)$ con le operazioni insiemistiche di unione intersezione e complemento è un algebra boolena completa. I sottoinsiemi finiti e cofiniti di $NN$ costituiscono una sottoalgebra di $P(NN)$. Consideriamo la catena di insiemi finiti ${1} \subset {1,3} \subset {1,3,5} \subset ...$ il suo estremo superiore in $P(NN)$ è l'insieme dei numeri dispari che però non è finito ne cofinito.
Ho pensato questo: l'insieme delle parti dei numeri naturali $P(NN)$ con le operazioni insiemistiche di unione intersezione e complemento è un algebra boolena completa. I sottoinsiemi finiti e cofiniti di $NN$ costituiscono una sottoalgebra di $P(NN)$. Consideriamo la catena di insiemi finiti ${1} \subset {1,3} \subset {1,3,5} \subset ...$ il suo estremo superiore in $P(NN)$ è l'insieme dei numeri dispari che però non è finito ne cofinito.
5) Dare un esempio di una sottoalgebra $B$ di un'algebra booleana $A$ e di un insieme $E \subset B$ tale che l'estremo superiore $\bigvee E$ esista in $B$ ma non in $A$
Consideriamo nuovamente l'algebra delle parti finite e cofinite di $NN$. La catena ${1} \subset {1,3} \subset {1,3,5} ...$ (insomma i numeri dispari) non ammette estremo superiore, infatti scelto un maggiorante, per esempio $NN - {2,4}$ c'è ne sempre uno più piccolo, per esempio $NN - {2,4,6}$. Consideriamo invece la sottoalgebra costituita dagli insiemi finiti di numeri dispari e dai rispettivi complementi in $NN$. Questa volta la catena ${1} \subset {1,3} \subset ...$ ammette un unico maggiorante cioè $NN$, che pertanto è l'estremo superiore.
Consideriamo nuovamente l'algebra delle parti finite e cofinite di $NN$. La catena ${1} \subset {1,3} \subset {1,3,5} ...$ (insomma i numeri dispari) non ammette estremo superiore, infatti scelto un maggiorante, per esempio $NN - {2,4}$ c'è ne sempre uno più piccolo, per esempio $NN - {2,4,6}$. Consideriamo invece la sottoalgebra costituita dagli insiemi finiti di numeri dispari e dai rispettivi complementi in $NN$. Questa volta la catena ${1} \subset {1,3} \subset ...$ ammette un unico maggiorante cioè $NN$, che pertanto è l'estremo superiore.
6) Dare un esempio di un'algebra booleana completa $A$ e di una sua sottoalgebra $B$ tale che esista un insieme $E \subset B$ che ammette estremo superiore sia in $A$ che in $B$, ma i due estremi sono diversi.
In $P(NN)$ consideriamo la catena ${4} \subset {4,5} \subset {4,5,6} \subset ...$ il suo estremo superiore è $NN - {0,1,2,3}$. Sia $B$ la sottoalgebra generata da ${{0},{1},{2} }$, ovviamente $NN - {0,1,2,3} \notin B$ e quindi l'estremo superiore della catena ${4} \subset {4,5} \subset ...$ in $B$ è $NN-{0,1,2}$.
In $P(NN)$ consideriamo la catena ${4} \subset {4,5} \subset {4,5,6} \subset ...$ il suo estremo superiore è $NN - {0,1,2,3}$. Sia $B$ la sottoalgebra generata da ${{0},{1},{2} }$, ovviamente $NN - {0,1,2,3} \notin B$ e quindi l'estremo superiore della catena ${4} \subset {4,5} \subset ...$ in $B$ è $NN-{0,1,2}$.
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