Sottinsiemi infiniti di \( \mathbb{R}^3 \).
A dire il vero non ho idea di come dimostrare questo fatto:
Sia \( K \subseteq \mathbb{R}^3 \) un insieme infinito. Dimostra che \( K \) contiene o un sottoinsieme infinito coplanare o un sottoinsiemente infinito che forma un politopo convesso (non-degenere).
Mi sembra una generalizzazione del teorema di Erdos-Szekeres, ma non saprei dimostrarlo troppo. Qualche idea?
Sia \( K \subseteq \mathbb{R}^3 \) un insieme infinito. Dimostra che \( K \) contiene o un sottoinsieme infinito coplanare o un sottoinsiemente infinito che forma un politopo convesso (non-degenere).
Mi sembra una generalizzazione del teorema di Erdos-Szekeres, ma non saprei dimostrarlo troppo. Qualche idea?
Risposte
Il teorema di Erdos-Szekeres afferma quanto segue:
Sia \( K \subset \mathbb{R}^2 \) infinito, allora esiste un sottoinsieme infinito \(L \) di \(K\) i cui punti sono o tutti su una retta oppure sono in posizione convessa.
A questo punto io considererei \( \pi \) essere la proiezione di \( \mathbb{R}^3 \) su \( \mathbb{R}^2 \). Possiamo supporre che \( \pi(K) = K' \) è un sottoinsieme infinito di \( \mathbb{R}^2 \), poiché altrimenti chiaramente \( K \) contiene un sottoinsieme coplanare. Per il teorema precedente abbiamo che esiste un sottoinsieme \( L' \subset K' \) i cui punti sono tutti su una retta oppure sono in posizione convessa.
Se sono tutti su una retta allora chiaramente \( L:=\pi^{-1}(L') \cap K \subset K \) è coplanare infinito.
Altrimenti se \( L' \) è in posizione convessa sono tentato che \( L:=\pi^{-1}(L') \cap K \subset K \) è in posizione convessa in \( \mathbb{R}^3 \), ma non so come dimostrarlo.
Idee?
Sia \( K \subset \mathbb{R}^2 \) infinito, allora esiste un sottoinsieme infinito \(L \) di \(K\) i cui punti sono o tutti su una retta oppure sono in posizione convessa.
A questo punto io considererei \( \pi \) essere la proiezione di \( \mathbb{R}^3 \) su \( \mathbb{R}^2 \). Possiamo supporre che \( \pi(K) = K' \) è un sottoinsieme infinito di \( \mathbb{R}^2 \), poiché altrimenti chiaramente \( K \) contiene un sottoinsieme coplanare. Per il teorema precedente abbiamo che esiste un sottoinsieme \( L' \subset K' \) i cui punti sono tutti su una retta oppure sono in posizione convessa.
Se sono tutti su una retta allora chiaramente \( L:=\pi^{-1}(L') \cap K \subset K \) è coplanare infinito.
Altrimenti se \( L' \) è in posizione convessa sono tentato che \( L:=\pi^{-1}(L') \cap K \subset K \) è in posizione convessa in \( \mathbb{R}^3 \), ma non so come dimostrarlo.
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