Sono due polinomi identici?
Il testo dell' esercizio è il seguente:
Si consideri \(\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+k \) nell'insieme Z3[x] e si consideri sempre in questo insieme \(\displaystyle g(x)=x^2+2x+k \). Sapendo che k appartiene a Z3 è vero che i due polinomi sono identici?
La mia risposta: I polinomi non sono identici, in quanto per il principio di identità dei polinomi 2 polinomi sono identici se e solo se hanno uguali i rispettivi coefficienti.
Dubbio: Essendo \(\displaystyle x^3 \) congruo \(\displaystyle x \) \(\displaystyle ( mod 3) \) per il Piccolo Teorema di Fermat abbiamo che in Z3[x] \(\displaystyle f(x) \) è congruo a \(\displaystyle g(x) \). Questo implica che sono identici in Z3[x]? (si nota che al variare di k i valori di f e g sono infatti gli stessi)
Si consideri \(\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+k \) nell'insieme Z3[x] e si consideri sempre in questo insieme \(\displaystyle g(x)=x^2+2x+k \). Sapendo che k appartiene a Z3 è vero che i due polinomi sono identici?
La mia risposta: I polinomi non sono identici, in quanto per il principio di identità dei polinomi 2 polinomi sono identici se e solo se hanno uguali i rispettivi coefficienti.
Dubbio: Essendo \(\displaystyle x^3 \) congruo \(\displaystyle x \) \(\displaystyle ( mod 3) \) per il Piccolo Teorema di Fermat abbiamo che in Z3[x] \(\displaystyle f(x) \) è congruo a \(\displaystyle g(x) \). Questo implica che sono identici in Z3[x]? (si nota che al variare di k i valori di f e g sono infatti gli stessi)
Risposte
Non confondere "polinomio" con "funzione polinomiale". Sono due cose diverse. Due polinomi distinti possono indurre la stessa funzione polinomiale. Ricorda che un polinomio (a coefficienti in un campo [tex]K[/tex]) non è altro che una funzione [tex]c: \mathbb{N} \to K[/tex] (dove considero [tex]0 \in \mathbb{N}[/tex]) con la proprietà che l'insieme [tex]\{n \in \mathbb{N}\ :\ c(n) \neq 0\}[/tex] è finito. Il polinomio [tex]c[/tex] ammette la rappresentazione (quella che si usa sempre) [tex]\sum_{i=0}^{\infty} c(i)X^i[/tex]. Nota che questa somma (formale!) è finita.
Insomma, il "principio di identità dei polinomi" non è un teorema, è una definizione.
Se [tex]K[/tex] è un campo e [tex]P(X) \in K[X][/tex] puoi sempre considerare la funzione [tex]f_P:K \to K[/tex] definita da [tex]f_P(a) := P(a)[/tex]. [tex]f_P[/tex] si dice "funzione polinomiale". Questo definisce una corrispondenza [tex]P \mapsto f_P[/tex]. Prova a dimostrare che questa corrispondenza è iniettiva (i.e. [tex]f_P \neq f_Q[/tex] ogni volta che [tex]P \neq Q[/tex]) se e solo se il campo [tex]K[/tex] è infinito.
Vedi anche qui(1), qui(2), qui(3) e qui(4).
Insomma, il "principio di identità dei polinomi" non è un teorema, è una definizione.
Se [tex]K[/tex] è un campo e [tex]P(X) \in K[X][/tex] puoi sempre considerare la funzione [tex]f_P:K \to K[/tex] definita da [tex]f_P(a) := P(a)[/tex]. [tex]f_P[/tex] si dice "funzione polinomiale". Questo definisce una corrispondenza [tex]P \mapsto f_P[/tex]. Prova a dimostrare che questa corrispondenza è iniettiva (i.e. [tex]f_P \neq f_Q[/tex] ogni volta che [tex]P \neq Q[/tex]) se e solo se il campo [tex]K[/tex] è infinito.
Vedi anche qui(1), qui(2), qui(3) e qui(4).
Ho capito la differenza tra polinomio e funzione polinomiale ma non mi è chiaro se la risposta che ho dato è corretta. Inoltre la rappresentazione in sommatoria del polinomio è data da una sommatoria finita perchè il numero di coefficienti diversi da 0 è finita giusto?
"agenog":Esatto.
La mia risposta: I polinomi non sono identici, in quanto per il principio di identità dei polinomi 2 polinomi sono identici se e solo se hanno uguali i rispettivi coefficienti.
la rappresentazione in sommatoria del polinomio è data da una sommatoria finita perchè il numero di coefficienti diversi da 0 è finita giusto?Esatto.
Se hai voglia ti propongo di pensare a questo.
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