Sono confuso, molto confuso

[G.D.5]

Se faccio $7 : 2$ ottengo $3$ come quoziente e $1$ come resto; se faccio $7 : (-2)$ ottengo $-3$ come quoziente e $1$ come resto; e se faccio $(-7) : 2$ qual è il quoziente e qual é il resto? Stessa domanda per $(-7) : (-2)$: quali sono il quoziente e il resto?

Direte voi: da dove se n'è uscito sto pincopallino stasera???

Eh...mo ve lo spiego....

Teorema Siano $a, b \in ZZ$ con $b != 0$. Allora esistono degli interi $q$ (detto quoziente) ed $r$ (detto resto) tali che: $a=bq + r$ e $0<=r

Tale teorema sta su degli appunti di algebra che ho io (tra i tanti appunti ci so anche questi). La dimostrazione sta fatta sia per $b>0$ sia per $b<0$, sia per $a<=$ sia per $a>0$; in particolare alla fine conclude così:

In altre parole, quando $b$ è negativo, si divide per $-b$, si cambia il segno del quoziente e si lascia inalterato il resto

senza alcuna condizione su $a$.

Secondo questo teorema il resto è sempre positivo (al limite nullo); ma se così è, allora la divisione $(-7) : (-2)$ dovrebbe avere quoziente $4$, mentre io fino a poco tempo fa sapevo che faceva $3,5$, quindi, che $3$ era il quoziente e $0,5$ la parte decimale ottenuta proseguendo la divisione, e, allo stesso modo, la divisione $(-7) : 2$ mi dà quoziente $-4$ e resto $1$ (sempre seguendo il teorema), mentre il sapevo che faceva $-3,5$.

Cos'è che non sto capendo???

[G.D.5]

Poi un'altra cosa non mi riesco più a spiegare: se faccio $3 : 8$ piazzo $0$ al quoziente e metto come resto $3$; e quando faccio $(-7) : 2$ perché non piazzo $0$ al quoziente???

Cioè la divizione tra positivi la faccio solo se il dividendo è maggiore del divisore altrimenti metto $0$ al quoziente; mentre cosi negativi e positivi no???

Mah....

[amel3]

"WiZaRd":
Direte voi: da dove se n'è uscito sto pincopallino stasera???

Effettivamente...

"WiZaRd":Teorema Siano $a, b \in ZZ$ con $b != 0$. Allora esistono degli interi $q$ (detto quoziente) ed $r$ (detto resto) tali che: $a=bq + r$ e $0<=r

Non proprio, è così:
Teorema Siano $a, b \in ZZ$ con $b != 0$. Allora esistono degli interi $q$ (detto quoziente) ed $r$ (detto resto) tali che: $a=bq + r$ e $0<=r<|b|$. Inoltre $q$ ed $r$ sono determinati univocamente da tali condizioni.


Piaccia o no, quella è la divisione intera, euclidea con resto o chiamala come vuoi...
Il teorema ti dice che il quoziente e il resto della divisione intera esistono unici a patto che tu dai la condizione che il resto sia non negativo e più piccolo del modulo del dividendo intero.
Quindi, facciamo ad esempio $7:2$, il resto deve essere minore di $|2|=2$, cioè o 0 o 1.
Ora se fosse $7=2q+0$, allora $q$ non sarebbe intero e quindi resta solo la possibilità $q=3$ e $r=1$.
Se facciamo invece $(-7):2$, il resto deve essere sempre minore di $|2|=2$, cioè o 0 o 1.
Analogamente si ottiene che l'unica possibilità è che sia $q=-4$ e $r=1$.
Tu ti chiedi ma perchè qui scelgo $-4$ e non $-3$: semplice, perchè se è vero che $-7/2$ è ugualmente vicino a $-3$ e a $-4$, è altrettanto vero che io non cerco qui solo l'intero più vicino ma anche tale che si abbia il resto della divisione non negativo. Ecco perchè scelgo $-4$, altrimenti avrei resto $-1$.

Spero di non averti confuso di più, spiegato dubito (per colpa mia non certo tua, ovviamente...)

[amel3]

"Sergio":
amel: non mi pare necessario (in realtà nemmeno utile) porre $0<=r<|b|$; $0<=r

A me pare proprio necessario, invece, se tu vuoi che $b$ sia anche negativo, no?

[amel3]

No avevo capito + o - il tuo ragionamento. E' solo che Wizard aveva tirato fuori un $(-7) : (-2)$ e allora mi sembrava giusto specificare che il teorema vale anche per $b$ negativo.

Inoltre, sì è vero non servirà a molto un $b$ negativo, però in my view, può essere utile per entrare nell'ottica della definizione della valutazione euclidea.

Ovviamente poi de gustibus...

[amel3]

Ma non saprei, a me sembrano chiare entrambe le impostazioni, comunque se Wizard così capisce di più tanto meglio...

[Megan00b]

Ma Euclide quel giorno non poteva fare castelli di sabbia invece di inventarsi la divisione???

[G.D.5]

Vi ringrazio per i chiarimenti e vi confesso che la situazione comincia a divenirmi più chiara.

Ma vi pongo un'altra domanda: ho notato che mentre amel ha corretto il mio teorema con l'introduzione del modulo su $b$, Sergio ha riformulato il teorema imponendo che sia $b>0$ e andando a trattare il caso $b<0$ attraverso l'uguaglianza $(a) : (b) = (-a) : (-b)$. Non vorrei dire una bestemmia, ma credo che in questo caso (cioè quello proposto da Sergio) si dovrebbe porre quella uguaglianza vera per definizione; mi spiego meglio: formulato e dimostrato il Teorema di Sergio, questo permette di estendere l'operazione di divisione da $NN$ in $ZZ$ attraverso le posizioni fatte, cioè attraverso la condizione (in particolare) $b>0$; sulla scorta di questo Teorema si dovrebbe (uso il condizionale perché non so se è effettivamente così) poter dimostrare la proprietà invariantiva della divisione, cioè $(a*alpha) : (b*alpha) = a : b$ che per poter essere valida anche con $alpha < 0$ (e questo servirà poi per trattare l'uguaglianza di Sergio: $(a) : (b) = (-a) : (-b)$) necessita però di una definizione della divisione per un intero negativo, definizione che quel Teorema esclude.

Ora, sui miei appunti il Teorema è formulato come già vi ho mostrato nel mio primo post (detto tra noi: sono io che so "cecato"; ho reperito anche gli appunti dettiloscritti direttamente dal mio prof. e su questi c'è il modulo già introdotto da amel) e non ho appunti dove il Teorema è mostrato come lo ha mostrato Sergio (e di questo ti ringrazio: è sempre un bene avere altre fonti a disposizione) quindi non so se in questo caso si definisce poi assiomaticamente la divisione per un intero negativo.

Insomma, la questione è questa: il Teorema che ho scritto nei miei appunti definisce direttamente la divisione per un intero negativo, mentre quello di Sergio non la definisce per $b<0$ e in questo caso credo che ci sarebbe bisogno di porre assiomaticamente $(a) : (b) = (-a) : (-b)$.

Che ne dite?

[G.D.5]

Sì, credo di aver capito. Grazie mille Sergio.

Scusami se ci ho messo tanto per rispondere al tuo ultimo post, ma ho cercato di capire bene quello che avevi argomentato (e quello che aveva detto anche amel) prima di fare altre domande ripetitive nel contenuto e prive di sostanza.

Grazie ancora.

[G.D.5]

"Sergio":[quote="WiZaRd"]Scusami se ci ho messo tanto per rispondere al tuo ultimo post,

Figurati! Ero sicuro che (spero tra ben altre cose da fare...) ci stavi pensando su ed ero proprio curioso di vedere la tua obiezione Sì, perché, anche se potrebbe forse non sembrare, ti ho esposto mie convinzioni, alcune maturate da tempo, altre... meno, ma convinzioni non vuol dire certezze.
E i tuoi dubbi aiutano ad approfondire cose che si tende a dare un po' troppo per scontate.
Grazie!

PS: Dopo la discussione su $0 in NN$ devo essere coerente: anche il punto di vista di amel non è male... anche se preferisco il mio [/quote]

Obiezioni da fare non ne ho, stavolta ho capito la tua argomentazione , anzi, ti dico che penso che la sola commutatività della moltiplicazioni in $\mathbb{Z}$ basti per spiegare la questione del $b<0$ senza andare a scomodare il campo razionale; a parte questo, l'argomentazione di amel l'avevo capita, la tua mi aveva inizialmente spiazzato con la considerazione del solo $b>0$, ma poi pensandoci sopra ho capito ciò che stavi dicendo e il dubbio sul $b>0$ m'è passato.

Quanto ai ringraziamenti, sono io che ringrazio voi per la pazienza che avete nel rispondere alle mie domande.