Somme finite
Salve a tutti. Potreste aiutarmi a risolvere magari illustrandomi i vari passaggi le seguenti somme? :
$\sum_{k=0}^{|__n/2__|}((n),(k))$
$\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*(-1)^k*(1-k/n)^n$
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k*(n-k)^2$
Grazie in anticipo..
$\sum_{k=0}^{|__n/2__|}((n),(k))$
$\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*(-1)^k*(1-k/n)^n$
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k*(n-k)^2$
Grazie in anticipo..
Risposte
Non so rispondere al quesito ma mica sei paccio di QDI ?
Se si ci incontriamo anche qui sono Andrew87
Se si ci incontriamo anche qui sono Andrew87
Si Andrew sono Paccio su qdi. 
Ragazzi mi affido alle vostre menti, perchè proprio non riesco a farle. Per la prima somma io avevo pensato a una maggiorazione cioè ricordandomi una proprietà del floor e ceiling (x-1<|_x_|
Per la prima devi ricondurti alla somma nota
$sum_(k=0)^n ((n),(k))=2^n$ (1)
che deriva dallo sviluppo della potenza n-sima del binomio
$(a+b)^n=sum_(k=0)^n ((n),(k))a^kb^(n-k)$, con a=b=1.
Devi sfruttare la proprietà $((n),(k))=((n),(n-k))$ per spezzare opportunamente la somma (1).
Ti conviene considerare separatamente il caso n pari o dispari.
$sum_(k=0)^n ((n),(k))=2^n$ (1)
che deriva dallo sviluppo della potenza n-sima del binomio
$(a+b)^n=sum_(k=0)^n ((n),(k))a^kb^(n-k)$, con a=b=1.
Devi sfruttare la proprietà $((n),(k))=((n),(n-k))$ per spezzare opportunamente la somma (1).
Ti conviene considerare separatamente il caso n pari o dispari.
Intanto ti ringrazio per la risposta. Sfruttando il tuo consiglio, a cui già avevo pensato, potrei scrivere la somma data come differenza delle somme da 0 a n e da 0 a n/2 ( parte superiore), essendo n=|_n/2_|+|-n/2-|, cioè:
$sum_{k=0}^{|__n/2__|}((n),(k))=sum_{k=0}^{n}((n),(k))-sum_{k=0}^{|-n/2-|}((n),(k))$
Quindi ho portato la somma con parte superiore a primo termine. Ma questa somma è uguale a quella con parte inferiore + 1 (c'è solo un (n,n) in +) da cui la somma è qualcosa del tipo (2^n - 1) /2. È giusto? In caso contrario potresti scrivermi i passaggi cosi che io capisca.
P.S Mi scuso per eventuali errori di forma, ma ci tengo a precisare che non sono un matematico, anche se alcuni rami di quest'ultima mi affascinano molto. Sono al 3° anno di ing. informatica.
$sum_{k=0}^{|__n/2__|}((n),(k))=sum_{k=0}^{n}((n),(k))-sum_{k=0}^{|-n/2-|}((n),(k))$
Quindi ho portato la somma con parte superiore a primo termine. Ma questa somma è uguale a quella con parte inferiore + 1 (c'è solo un (n,n) in +) da cui la somma è qualcosa del tipo (2^n - 1) /2. È giusto? In caso contrario potresti scrivermi i passaggi cosi che io capisca.
P.S Mi scuso per eventuali errori di forma, ma ci tengo a precisare che non sono un matematico, anche se alcuni rami di quest'ultima mi affascinano molto. Sono al 3° anno di ing. informatica.
il tuo ragionamento è giusto, ma solo per n dispari, infatti per n dispari hai un numero pari di addendi che puoi spezzare nelle 2 somme.
Ogni somma è la metà di quella originale, quindi $2^n/2=2^(n-1)$.
Ora devi considerare il caso n pari.
Ogni somma è la metà di quella originale, quindi $2^n/2=2^(n-1)$.
Ora devi considerare il caso n pari.
Per il terzo es. avrei trovato questo procedimento .
Innanzitutto si prova che (ometto gli indici di sommazione su k che sono sempre da 0 a n) :
$S_1=sum(-1)^k={(1 ,text(per n pari)),(0,text(per n dispari)):}$
$S_2=sum(-1)^kk={(n/2 ,text(per n pari)),(-(n+1)/2,text(per n dispari)):}$
$S_3=sum(-1)^kk^2={((n(n+1))/2 ,text(per n pari)),(-(n(n+1))/2,text(per n dispari)):}$
Queste formule possono essere dimostrate o per calcolo diretto o (penso) per induzione semplice.
Ciò detto,per la somma S da calcolare risulta:
$S=sum(-1)^k(n-k)^2=n^2sum(-1)^k-2nsum(-1)^kk+sum(-1)^kk^2$
In base alle formule precedenti risulterà allora che:
$S={(n^2*1-2n*n/2+(n(n+1))/2,text(per n pari)),(n^2*0-2n*(-(n+1)/2)-(n(n+1))/2,text(per n dispari)):}$
Facendo i calcoli si trova che in ogni caso è:
$S=(n(n+1))/2$
Ciao
Innanzitutto si prova che (ometto gli indici di sommazione su k che sono sempre da 0 a n) :
$S_1=sum(-1)^k={(1 ,text(per n pari)),(0,text(per n dispari)):}$
$S_2=sum(-1)^kk={(n/2 ,text(per n pari)),(-(n+1)/2,text(per n dispari)):}$
$S_3=sum(-1)^kk^2={((n(n+1))/2 ,text(per n pari)),(-(n(n+1))/2,text(per n dispari)):}$
Queste formule possono essere dimostrate o per calcolo diretto o (penso) per induzione semplice.
Ciò detto,per la somma S da calcolare risulta:
$S=sum(-1)^k(n-k)^2=n^2sum(-1)^k-2nsum(-1)^kk+sum(-1)^kk^2$
In base alle formule precedenti risulterà allora che:
$S={(n^2*1-2n*n/2+(n(n+1))/2,text(per n pari)),(n^2*0-2n*(-(n+1)/2)-(n(n+1))/2,text(per n dispari)):}$
Facendo i calcoli si trova che in ogni caso è:
$S=(n(n+1))/2$
Ciao
"manlio":
Per il terzo es. avrei trovato questo procedimento .
Innanzitutto si prova che (ometto gli indici di sommazione su k che sono sempre da 0 a n) :
$S_1=sum(-1)^k={(1 ,text(per n pari)),(0,text(per n dispari)):}$
$S_2=sum(-1)^kk={(n/2 ,text(per n pari)),(-(n+1)/2,text(per n dispari)):}$
$S_3=sum(-1)^kk^2={((n(n+1))/2 ,text(per n pari)),(-(n(n+1))/2,text(per n dispari)):}$
Queste formule possono essere dimostrate o per calcolo diretto o (penso) per induzione semplice.
Ciò detto,per la somma S da calcolare risulta:
$S=sum(-1)^k(n-k)^2=n^2sum(-1)^k-2nsum(-1)^kk+sum(-1)^kk^2$
In base alle formule precedenti risulterà allora che:
$S={(n^2*1-2n*n/2+(n(n+1))/2,text(per n pari)),(n^2*0-2n*(-(n+1)/2)-(n(n+1))/2,text(per n dispari)):}$
Facendo i calcoli si trova che in ogni caso è:
$S=(n(n+1))/2$
Ciao
Mi trovo perfettamente con i tuoi conti manlio, grazie. Per provare il risultato delle tre somme (S1,S2,S3) si può anche usare il metodo di perturbazione dei termini che spiega in dettaglio D. Knuth in "Concrete mathematics". Ad ogni modo mi trovo. Ritornando alla prima somma non capisco quanto faccia per n pari, tu hai qualche idea manlio?
Se n è pari puoi raccogliere i $n/2+1$ termini nella prima somma e i restanti $n/2$ nella seconda:
$sum_(k=0)^n ((n),(k))=sum_(k=0)^(n/2) ((n),(k)) + sum_(k=n/2+1)^n ((n),(k))$
quindi la prima somma sarà un po' più grande della seconda, ed esattamente:
$2^(n-1)+1/2((n),(n/2))$
EDIT: dimenticato 1/2
$sum_(k=0)^n ((n),(k))=sum_(k=0)^(n/2) ((n),(k)) + sum_(k=n/2+1)^n ((n),(k))$
quindi la prima somma sarà un po' più grande della seconda, ed esattamente:
$2^(n-1)+1/2((n),(n/2))$
EDIT: dimenticato 1/2
Poniamo n=2m ed avremo:
$(1+1)^(2m)=sum_0^(2m)((2m),(k))=sum_0^(m-1)((2m),(k)) +((2m),(m))+sum_(m+1)^(2m)((2m),(k))$
Ovvero:
$2^(2m)=2sum_0^(m-1)((2m),(k))+((2m),(m))$
E quindi :
$sum_0^(m-1)((2m),(k))=2^(2m-1)-1/2((2m),(m))$
Aggiungendo ora ad entrambi i membri $((2m),(m))$ ,si ottiene :
$sum_0^(m)((2m),(k))=2^(2m-1)+1/2((2m),(m))$
Tornando alla "n" si ha la formula richiesta:
$sum_0^(n//2)((n),(k))=2^(n-1)+1/2((n),(n//2))$
Ciao
$(1+1)^(2m)=sum_0^(2m)((2m),(k))=sum_0^(m-1)((2m),(k)) +((2m),(m))+sum_(m+1)^(2m)((2m),(k))$
Ovvero:
$2^(2m)=2sum_0^(m-1)((2m),(k))+((2m),(m))$
E quindi :
$sum_0^(m-1)((2m),(k))=2^(2m-1)-1/2((2m),(m))$
Aggiungendo ora ad entrambi i membri $((2m),(m))$ ,si ottiene :
$sum_0^(m)((2m),(k))=2^(2m-1)+1/2((2m),(m))$
Tornando alla "n" si ha la formula richiesta:
$sum_0^(n//2)((n),(k))=2^(n-1)+1/2((n),(n//2))$
Ciao
Grazie mille a entrambi, ora è tutto chiaro. Rimarrebbe solo la seconda somma che può essere scritta, facendo semplici conti, nella forma: $1/n^nsum_{k=0}^{n}((n),(k))(-1)^(n-k)(k)^n$.
Questa somma assomiglia molto a $(x-1)^n= sum_{k=0}^{n}((n),(k))(-1)^(n-k)x^k$. Quindi in sostanza bisognerebbe derivare n volte per far uscire quel k^n che manca?. Cosa ne pensate?
Questa somma assomiglia molto a $(x-1)^n= sum_{k=0}^{n}((n),(k))(-1)^(n-k)x^k$. Quindi in sostanza bisognerebbe derivare n volte per far uscire quel k^n che manca?. Cosa ne pensate?
derivando n volte al massimo esce un k!/(k-n)! non un k^n, se ho capito bene ciò che vuoi fare.
In effetti è cosi, derivando non si ottiene k^n. Cmq anche questa somma è simile all'altra che abbiamo calcolato, cioè anche qui abbiamo un $(-1)^(n-k)k$ per un qualcosa che in questo caso è un coefficiente binomiale. Io al momento non ne ho idea. 
"Paccio":
$\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*(-1)^k*(1-k/n)^n$
Veniamo alla seconda:
$\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*(-1)^k*(1-k/n)^n=1/n^n\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*(-1)^k*(n-k)^n$
per un risultato di Ruiz si ha che
$\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*(-1)^k*(x-k)^n=n!$ per qualsiasi $x in CC$.
In definitiva
$\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*(-1)^k*(1-k/n)^n=(n!)/n^n$.
Puoi ricavare l'identità di Ruiz grazie alla backward difference
Grazie mille Luca. Ma non è che potresti farmi vedere questa identità? Ho provato ad applicare la backward ma non mi esce...Grazie ancora..
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