Somma diretta di moduli

[misanino]

Supponiamo di avere 2 moduli V e W che stanno in somma diretta.
Supponiamo quindi di avere un sottomodulo $V_1$ di $V$ e $W_1$ di $W$.
Supponiamo di avere poi altri 2 sottomoduli $V_2$ e $W_2$ rispettivamente di $V_1$ e di $W_1$ in modo che resti così ben definito il quoziente $V_1/V_2$ e $W_1/W_2$.
Posso affermare che $(V_1\oplusW_1)/(V_2\oplusW_2)$ è isomorfo a $V_1/V_2 \oplus W_1/W_2$?
Ringrazio fin da ora chiunque sarà in grado di rispondermi.
Grazie

[dissonance]

Con i gruppi direi che questa proposizione è vera. Precisamente, se abbiamo dei gruppi $G, G_1, G_2, H, H_1, H_2$, con $H, G_1, G_2 < G$ e $H_1, H_2
$G/H \to G_1/H_1 times G_2/H_2$ definita da $ (g_1g_2H)\mapsto(g_1H_1, g_2H_2)$ è un isomorfismo di gruppi.

Mi pare che faccia al caso tuo. Purtroppo non tocco questi argomenti da parecchio quindi prendi un po' tutto con le pinze.

[misanino]

Grazie Dissonance per la risposta.
Molto gentile come al solito.
Provo a pensare se la cosa si può trasportare ai moduli (che comunque gruppi abeliani sono, anche se con qualcosa in più)....

[Studente Anonimo]

Il modo più semplice di procedere è considerare la mappa canonica [tex]V_1 \oplus W_1 \to V_1/V_2 \oplus W_1/W_2[/tex] e studiarne il nucleo, con l'intento di usare il primo teorema di omomorfismo.