Somma di numeri algebrici

[deffo1]

Qualcuno saprebbe dimostrarmi perchè la somma di due numeri algebrici è ancora algebrica?
Non riesco a trovare la dimostrazione da nessuna parte. Grazie

[Paolo902]

Prendi un campo $F$ e considera due elementi $a,b$ della chiusura algebrica di $F$, cioè $a$ e $b$ algebrici su $F$. Allora l'estensione $F(a,b)$ è finita (lo vedi subito, per moltiplicatività) e quindi ogni elemento di $F(a,b)$ è algebrico su $F$.
In particolare, $a\pm b, ab, ab^{-1} \in F(a,b)$ e dunque sono algebrici su $F$. Torna?

[deffo1]

Perfetta, grazie mille!

[Paolo902]

Prego, figurati.

[Martino]

Se può interessare, c'è un modo algoritmico per trovare un polinomio che ha [tex]a+b[/tex] o [tex]ab[/tex] come zero dati polinomi [tex]A(x),B(x)[/tex] che hanno rispettivamente [tex]a,b[/tex] come zeri. Uno prende le companion matrix di [tex]A(x),B(x)[/tex], siano esse [tex]A,B[/tex], e poi fa così (cf. prodotto di Kronecker, e qui [tex]\sigma(M)[/tex] indica lo spettro, cioè l'insieme degli autovalori, della matrice [tex]M[/tex]):



[Tratto dalle note "Applied linear algebra" di Harald Wimmer, non ho trovato il pdf su internet purtroppo.]

Questo è interessante perché permette di dimostrare costruttivamente che gli interi algebrici formano un anello (di solito la dimostrazione di questo fatto non è costruttiva).

[deffo1]

Grazie anche a te Martino