Soluzioni di equazione congruenziale
Ciao,
è possibile dimostrare che se \(\displaystyle c \) è soluzione dell'equazione congreunziale \(\displaystyle ax \equiv_m b \), non è detto che tutte le soluzioni appartengano alla classe di \(\displaystyle [c] \).
Se però \(\displaystyle MCD(a,m) = 1 \), allora tutte le soluzioni appartengono alla classe di \(\displaystyle [c] \).
È inoltre possibile dimostrare che \(\displaystyle d=MCD(a,m) \implies \frac{a}{d}x \equiv \frac{b}{d} (mod\ \frac{m}{d}) \) avrà le stesse soluzioni della prima congruenza, ma \(\displaystyle MCD(\frac{a}{d}\ , \frac{m}{d}) = 1 \) e quindi se \(\displaystyle c \) è soluzione, tutte le soluzioni apparterranno alla classe di \(\displaystyle [c] \).
Non ho capito quindi cosa succede se trovo soluzione con la seconda congruenza. Tutte le soluzioni apparterranno a [c] anche nella prima? Se così fosse allora non comprendo perché ci possono essere soluzioni che non appartengono a [c], ma se così non fosse allora non mi spiego perché la dimostrazione che contempla il poter passare da \(\displaystyle ax \equiv_m b \) a \(\displaystyle \frac{a}{d}x \equiv \frac{b}{d} (mod\ \frac{m}{d}) \) funzioni senza intoppi qualunque sia x.
Grazie e mi scuso per la banalità della domanda.
è possibile dimostrare che se \(\displaystyle c \) è soluzione dell'equazione congreunziale \(\displaystyle ax \equiv_m b \), non è detto che tutte le soluzioni appartengano alla classe di \(\displaystyle [c] \).
Se però \(\displaystyle MCD(a,m) = 1 \), allora tutte le soluzioni appartengono alla classe di \(\displaystyle [c] \).
È inoltre possibile dimostrare che \(\displaystyle d=MCD(a,m) \implies \frac{a}{d}x \equiv \frac{b}{d} (mod\ \frac{m}{d}) \) avrà le stesse soluzioni della prima congruenza, ma \(\displaystyle MCD(\frac{a}{d}\ , \frac{m}{d}) = 1 \) e quindi se \(\displaystyle c \) è soluzione, tutte le soluzioni apparterranno alla classe di \(\displaystyle [c] \).
Non ho capito quindi cosa succede se trovo soluzione con la seconda congruenza. Tutte le soluzioni apparterranno a [c] anche nella prima? Se così fosse allora non comprendo perché ci possono essere soluzioni che non appartengono a [c], ma se così non fosse allora non mi spiego perché la dimostrazione che contempla il poter passare da \(\displaystyle ax \equiv_m b \) a \(\displaystyle \frac{a}{d}x \equiv \frac{b}{d} (mod\ \frac{m}{d}) \) funzioni senza intoppi qualunque sia x.
Grazie e mi scuso per la banalità della domanda.
Risposte
Cerco di spiegarmi meglio: Siano \(\displaystyle h \) e \(\displaystyle c \) soluzioni di \(\displaystyle (1) \) e \(\displaystyle h \notin [c] \):
Quindi \(\displaystyle ah \equiv_m b \)
È facilmente dimostrabile che \(\displaystyle h \) è anche soluzione di \(\displaystyle (2) \) \(\displaystyle \implies h \in [c] \) (in quanto anche \(\displaystyle c \) è soluzione e MCD=1).
Dove sbaglio?
Quindi \(\displaystyle ah \equiv_m b \)
È facilmente dimostrabile che \(\displaystyle h \) è anche soluzione di \(\displaystyle (2) \) \(\displaystyle \implies h \in [c] \) (in quanto anche \(\displaystyle c \) è soluzione e MCD=1).
Dove sbaglio?
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