Soluzioni dell'equazione - Combinatoria
Salve a tutti,
essendo in periodo di esame, mi ritrovo "spacciato"
per quanto riguarda questa tipologia di esercizi:
Quante soluzioni ci sono dell’equazione x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 = 3200, dove
x1, . . . , x9 € Z e x1, . . . , x9 >= 0, con 20 <= x1 <= 120, 30 <= x2 <= 230, 350 <= x4 <= 480, x9 >= 10,
x3 + x4 + x5 + x6 = 850 e x1 + x2 \(\displaystyle \neq \) x4 − 1?
Quali sono i passi (magari anche più rapidi) per risolvere questa tipologia di esercizi?
Grazie in anticipo.
essendo in periodo di esame, mi ritrovo "spacciato"
per quanto riguarda questa tipologia di esercizi:Quante soluzioni ci sono dell’equazione x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 = 3200, dove
x1, . . . , x9 € Z e x1, . . . , x9 >= 0, con 20 <= x1 <= 120, 30 <= x2 <= 230, 350 <= x4 <= 480, x9 >= 10,
x3 + x4 + x5 + x6 = 850 e x1 + x2 \(\displaystyle \neq \) x4 − 1?
Quali sono i passi (magari anche più rapidi) per risolvere questa tipologia di esercizi?
Grazie in anticipo.
Risposte
A quanto ho capito l'esercizio è:
Siano $x_i in ZZ$ $,$ $i=1, 2, ... , 9$
contare le soluzioni del sistema:
${(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 +x_6 +x_7 +x_8 +x_9 = 3200),(x_3 +x_4 +x_5 +x_6 = 850),(x_1 +x_2 != x_4 -1),(20<=x_1<=120),(30<=x_2<=230),(350<=x_4<=480),(x_9>=10):}$
Innanzitutto, per semplicità, potresti creare 3 nuove variabili in questo modo:
$t_1 = x_1-20$ $rArr$ $0<=t_1<=100$
$t_2 = x_2-30$ $rArr$ $0<=t_2<=200$
$t_4 = x_4-350$ $rArr$ $0<=t_4<=130$
il sistema dato diventa:
${(t_1 +t_2 +x_3 +t_4 +x_5 +x_6 +x_7 +x_8 +x_9 = 2800),(x_3 +t_4 +x_5 +x_6 = 500),(t_1 +t_2 -t_4 != 299),(0<=t_1<=100),(0<=t_2<=200),(0<=t_4<=130),(x_9>=10):}$
Siano $x_i in ZZ$ $,$ $i=1, 2, ... , 9$
contare le soluzioni del sistema:
${(x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 +x_6 +x_7 +x_8 +x_9 = 3200),(x_3 +x_4 +x_5 +x_6 = 850),(x_1 +x_2 != x_4 -1),(20<=x_1<=120),(30<=x_2<=230),(350<=x_4<=480),(x_9>=10):}$
Innanzitutto, per semplicità, potresti creare 3 nuove variabili in questo modo:
$t_1 = x_1-20$ $rArr$ $0<=t_1<=100$
$t_2 = x_2-30$ $rArr$ $0<=t_2<=200$
$t_4 = x_4-350$ $rArr$ $0<=t_4<=130$
il sistema dato diventa:
${(t_1 +t_2 +x_3 +t_4 +x_5 +x_6 +x_7 +x_8 +x_9 = 2800),(x_3 +t_4 +x_5 +x_6 = 500),(t_1 +t_2 -t_4 != 299),(0<=t_1<=100),(0<=t_2<=200),(0<=t_4<=130),(x_9>=10):}$
Ciao SaraSue ,
grazie mille per la risposta tempestiva. Stavo provando a seguire il tuo ragionamento, ma non ho capito alla fine come ricavare il numero di soluzioni dell'equazione da quel sistema.
Grazie in anticipo.
grazie mille per la risposta tempestiva. Stavo provando a seguire il tuo ragionamento, ma non ho capito alla fine come ricavare il numero di soluzioni dell'equazione da quel sistema.
Grazie in anticipo.
UP
UP
La soluzione dei problemi di questo tipo si fonda sul principio che il numero di soluzioni intere non negative dell'equazione diofantea $\sum_(k=1)^n x_(i) = k$ è pari al numero di permutazioni con ripetizione dei due elementi "1" e "+", considerati rispettivamente con molteplicità k e con molteplicità $n-1$.
Al seguente link trovi un articolo che ti indica come risolvere sistemi simili al tuo, spero che ti sia utile.
http://www.dmi.unict.it/~lizzio/corso/m ... atorio.pdf
saluti
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saluti
Se ti servono dispense sul calcolo combinatorio:
http://www.dm.unipi.it/~delcorso/Ilaria ... atoria.pdf
E questo è un buon libro:
http://www.amazon.it/Algebra-Pietro-Di- ... no+algebra
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Qualcuno sarebbe così gentile da mostrare l'intera soluzione del problema posto da FrankV?
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