Soluzioni congruenza
Ciao, volevo chiedere se sono giusti i passaggi fin qui per determinare tutte le soluzioni della seguente congruenza:
$x^17-=2 mod 51$
1) Verifico se $(2,51)=1. La soluzione dell'equazione se esiste deve essere invertibile $mod 51$.
2) Calcolo il numero di elementi di $(Z//51Z)^* = Phi(51) = (17-1)(3-1)=32$. Poichè $(17,32)=1$ posso determinare l'inverso $d$ di $17 mod 32$. Per fare questo applico Euclide su $17$ e $32$ ed esplicito il resto $1$ come la loro combinazione lineare. $d$ sarà uguale al coefficiente di $17$.
$1=(8)32+(-15)17$. $d=-15$
Fin qui è corretto il procedimento???
Grazie, ciao.
$x^17-=2 mod 51$
1) Verifico se $(2,51)=1. La soluzione dell'equazione se esiste deve essere invertibile $mod 51$.
2) Calcolo il numero di elementi di $(Z//51Z)^* = Phi(51) = (17-1)(3-1)=32$. Poichè $(17,32)=1$ posso determinare l'inverso $d$ di $17 mod 32$. Per fare questo applico Euclide su $17$ e $32$ ed esplicito il resto $1$ come la loro combinazione lineare. $d$ sarà uguale al coefficiente di $17$.
$1=(8)32+(-15)17$. $d=-15$
Fin qui è corretto il procedimento???
Grazie, ciao.
Risposte
"giampfrank":
Ciao, volevo chiedere se sono giusti i passaggi fin qui per determinare tutte le soluzioni della seguente congruenza:
$x^17-=2 mod 51$
1) Verifico se $(2,51)=1. La soluzione dell'equazione se esiste deve essere invertibile $mod 51$.
2) Calcolo il numero di elementi di $(Z//51Z)^* = Phi(51) = (17-1)(3-1)=32$. Poichè $(17,32)=1$ posso determinare l'inverso $d$ di $17 mod 32$. Per fare questo applico Euclide su $17$ e $32$ ed esplicito il resto $1$ come la loro combinazione lineare. $d$ sarà uguale al coefficiente di $17$.
$1=(8)32+(-15)17$. $d=-15$
Fin qui è corretto il procedimento???
Grazie, ciao.
Ma se abbiamo una congruenza modulo $n$ allora abbiamo anche la stessa congruenza modulo ogni divisore di $n$.
Perciò se $x$ è tale che $x^17-=2 mod 51$ allora si ha anche $x^17-=2 mod 3$
e quindi dato che $17=5*3+2$ si ha $x^2-=2 mod 3$ e questa congruenza non ha soluzioni!
Quindi non esistono soluzioni neanche della congruenza di partenza
"misanino":
Perciò se $x$ è tale che $x^17-=2 mod 51$ allora si ha anche $x^17-=2 mod 3$
e quindi dato che $17=5*3+2$ si ha $x^2-=2 mod 3$ e questa congruenza non ha soluzioni!
Siccome $17=2*8+1$, sfruttando il fatto che $AA x in ZZ_3 - {0}$, $x^2=1$, otteniamo $x^17=x$ $mod3$.
quindi se lavoriamo modulo tre ha soluzione, e la soluzione è $x=2$, attenzione!!
questo per chiarire un po' la teoria,ma si vede banalmente che $x^17=2=-1$ha soluzione $x=-1$
"misanino":
e quindi dato che $17=5*3+2$ si ha $x^2-=2 mod 3$ e questa congruenza non ha soluzioni!
Quindi non esistono soluzioni neanche della congruenza di partenza
penso ci sia un errore perchè da [tex]17=5\cdot3+2[/tex] ricavi [tex]x\cdot x^2\equiv2 \ mod \ 3\Rightarrow x^3\equiv2 \ mod \ 3[/tex] che ha soluzione [tex]x\equiv2 \ mod \ 3[/tex]
o sbaglio?
E' vero!!!
Che stordito che sono!
Sto lavorando modulo 3 e quindi $x^2=1$ e non $x^3$.
Chiedo scusa.
Grazie per la correzione
Che stordito che sono!
Sto lavorando modulo 3 e quindi $x^2=1$ e non $x^3$.
Chiedo scusa.
Grazie per la correzione
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