Soluzione monocromatica a \( x+xy+y=z \)
Dimostra che per ogni colorazione finita di \( \mathbb{N} \) c'è una soluzione monocromatica a \( x+xy+y=z \).
Hint: La tripletta \(2^n-1\), \(2^m -1 \) e \(2^{n+m}-1\) è soluzione dell'equazione.
Non riesco a dimostrare che esistono \(n,m \in \mathbb{N} \) tale che \(2^n-1\), \(2^m -1 \) e \(2^{n+m}-1\) sono monocromatici. Qualche suggerimento?
Hint: La tripletta \(2^n-1\), \(2^m -1 \) e \(2^{n+m}-1\) è soluzione dell'equazione.
Non riesco a dimostrare che esistono \(n,m \in \mathbb{N} \) tale che \(2^n-1\), \(2^m -1 \) e \(2^{n+m}-1\) sono monocromatici. Qualche suggerimento?
Risposte
Uhh forse mi è appena arrivata l'idea. Scegliamo una colorazione di \( \mathbb{N} \) tale che \(n \) è colorato con lo stesso colore di \(2^n -1 \) in \( \mathbb{N} \) secondo la nostra colorazione originale.
Allora sappiamo per il teorema di Schur che esistono \(n,m,k \in \mathbb{N} \) monocromatici tale che \(n+m=k \). Da cui per definizione della nuova colorazione risulta che hanno lo stesso colore di \(x=2^n-1\), \(y= 2^m-1 \) e \(z=2^k-1= 2^{n+m}-1 \), risulta quindi chiaramente che è una soluzione monocromatica all'equazione \(x+xy+y=z \).
Penso funzioni.
Allora sappiamo per il teorema di Schur che esistono \(n,m,k \in \mathbb{N} \) monocromatici tale che \(n+m=k \). Da cui per definizione della nuova colorazione risulta che hanno lo stesso colore di \(x=2^n-1\), \(y= 2^m-1 \) e \(z=2^k-1= 2^{n+m}-1 \), risulta quindi chiaramente che è una soluzione monocromatica all'equazione \(x+xy+y=z \).
Penso funzioni.
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