Sistemi di congruenze con più di due equazioni

[giupar93]

Buongiorno ragazzi..ho un problema nel risolvere i sistemi di congruenze con più di due equazioni. Sono confuso perché mi hanno detto che si risolvono con più di un metodo..come il teorema cinese del resto. Potete schiarirmi le idee per favore? Per esempio come si risolve :

$ { ( x-= 2(mod 5) ),( x-=0(mod 4) ),( x-=4(mod7) ):} $

Grazie mille anticipatamente (:

[hyoukarou]

Un modo semplice per trovare la soluzione è questa: in base all'identità di Bézout(e ad un semplice ragionamento) hai che ogni \(x \in \mathbb{Z}\) può essere scritto come \(5 \cdot 4 \cdot a + 4 \cdot 7 \cdot b + 5 \cdot 7 \cdot c\) con \(a, b, c \in \mathbb{Z}\), quindi sostituendo quest'espressione nel sistemino ottieni

\(\left\{\begin{matrix}
28 b \equiv 2 \mod 5\\
35 c \equiv 0 \mod 4\\
20 a \equiv 4 \mod 7
\end{matrix}\right.\)

Da cui \(b = 4 + 5 t_1\), \(c = 4 t_2\), \(a = 3 + 7 t_3\), infine risostituendo nell'espressione hai che

\(x = 20 \cdot (3 + 7 t_3) + 28 \cdot (4 + 5 t_1) + 35 \cdot (4 t_2) = 172 + 140(t_1 + t_2 + t_3)\)

o se vuoi esprimerlo con i moduli \(x \equiv 32 \mod 140\)

Seguendo lo stesso ragionamento(e se vuoi omettendo qualche passaggio "stupido" come quello di mettere \(t_1\), \(t_2\) e \(t_3\)) puoi risolvere qualsiasi sistema lineare di congruenze

[giupar93]

ciao..innanzitutto grazie per la risposta.. però non ho capito come hai ricavato $t1,t2,t3$.. e quindi anche il ragionamento successivo.. Potresti rispiegarlo? Grazie mille

[hyoukarou]

"giupar93":ciao..innanzitutto grazie per la risposta.. però non ho capito come hai ricavato $t1,t2,t3$.. e quindi anche il ragionamento successivo.. Potresti rispiegarlo? Grazie mille

Figurati, comunque non ho "ricavato" \(t_1\) etc., ho soltanto cambiato notazione dopo aver risolto le singole equazioni del sistema, ti scrivo esplicitamente la prima(le altre sono identiche):

\(28b \equiv 2 \mod 5 \Longleftrightarrow 3b \equiv 2 \mod 5 \Longleftrightarrow b \equiv 4 \mod 5 \Longleftrightarrow\)
\(\Longleftrightarrow 5 \mid (b - 4) \Longleftrightarrow b - 4 = 5 t_1, \Longleftrightarrow b = 4 + 5 t_1\)

Il passaggio successivo è stato quello di sostituire \(a\), \(b\) e \(c\)(nelle forme che abbiamo appena trovato) nell'equazione di \(x\) che è scritta all'inizio del precedente post e fare qualche passaggio algebrico.

P.S. \(a \equiv b \mod c\), \(c \mid (a - b)\) e \(a = b + c \cdot t\), \(t \in \mathbb{Z}\) sono modi equivalenti di scrivere la stessa cosa, a volte per motivi pratici conviene passare da una scrittura ad un'altra