Sistema Teoria dei Numeri

[Piccolo Fermat]

Studiare la risolubilita' del seguente sistema di congruenze lineari al variare
del parametro k:

$\{(x + ky -= k + 1 (mod 5)),(x + y + z -= 2 (mod 5)),(kx + y -= k + 1 (mod 5)):}$

Veramente non sò da dove cominciare. Ho provato a intavolare un discorso con il delta = ad-bc però non riesco a intrecciare le cose. Se qualcuno mi da una mano, almeno impostarlo, per i calcoli ci penso io, ne sarei veramente felice. Grazie.

[gugo82]

Sbaglio o, essendo [tex]$\mathbb{Z}_5$[/tex] un campo, si può usare l'algoritmo di Gauss come per qualsiasi sistema lineare a coefficienti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]?

[Piccolo Fermat]

Hai avuto una buonissima idea. Ho provato a farlo e mi viene che con $K -=1$ il sistema non è risolubile. Se ti vuoi divertire a fare i calcoli, magari confrontiamo le soluzioni.

[gugo82]

Io ho risolto così.

Riordinando un po' le equazioni, la matrice completa è:

[tex]$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 0 & k+1 \\ k & 1 & 0 & k+1\end{pmatrix}$[/tex];

si vede che il minore d'ordine due individuato dalle prime due righe e dalla prima e terza colonna, ossia [tex]$M_{1,2;1,3}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$[/tex], è non nullo, quindi il rango della metrice completa è [tex]$\geq 2$[/tex]; orlando [tex]$M_{1,2;1,3}$[/tex] si ottengono i minori:

[tex]$M_{1,2,3;1,2,3}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 0\\ k & 1 & 0\end{pmatrix}$[/tex] e [tex]$M_{1,2,3;1,3,4}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & k+1 \\ k & 0 & k+1\end{pmatrix}$[/tex]

che hanno:

[tex]$\det M_{1,2,3;1,2,3}=1-k^2$[/tex] e [tex]$\det M_{1,2,3;1,3,4}=k^2-1$[/tex],

perciò sono possibili due soli casi:

1) entrambe matrice completa e dei coefficienti hanno rango [tex]$2$[/tex], e ciò accade se e solo se [tex]$k= 1,4$[/tex]: in tal caso, le soluzioni del sistema sono quelle di:

(*) [tex]$\begin{cases} x+y+z=2 \\ x+y =2\end{cases}$[/tex] se [tex]$k=1$[/tex]

(**) [tex]$\begin{cases} x+y+z=2 \\ x-y =0\end{cases}$[/tex] se [tex]$k=4$[/tex]

cioè [tex]$(x,2-x,0)$[/tex] per [tex]$k=1$[/tex] e [tex]$(x,x,2-2x)$[/tex] per [tex]$k=4$[/tex];

2) entrambe matrice completa e dei coefficienti hanno rango [tex]$3$[/tex], e ciò accade se e solo se [tex]$k\neq 1,4$[/tex]: in tal caso il sistema ha unica soluzione data da [tex]$(1,1,0)$[/tex].

***

Allo stesso modo, usando Gauss, si trova:

[tex]$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 0 & k+1 \\ k & 1 & 0 & k+1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & k-1 & -1 & k-1 \\ 0 & 1-k & -k & 1-k\end{pmatrix}$[/tex];

se [tex]$k=1$[/tex], la seconda e terza riga hanno entrambe pivot nullo al secondo passo, quindi le soluzioni del sistema sono quelle di (*); se [tex]$k\neq 1$[/tex], l'algoritmo prosegue e importa:

[tex]$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 0 & k+1 \\ k & 1 & 0 & k+1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & k-1 & -1 & k-1 \\ 0 & 0 & -(k+1) & 0\end{pmatrix}$[/tex];

se [tex]$k=4$[/tex] l'ultima riga è tutta nulla, quindi le soluzioni del sistema sono quelle di (**); se [tex]$k\neq 4$[/tex] allora il sistema ha unica soluzione che si ricava con sostituzione a ritroso ed è quella determinata al precedente caso 2.