Sistema Sintatticamente e/o Semanticamente Incompleto?

[Nicolaus]

Credo di avere qualche problema nell'attuare una distinzione rigorosa dei due concetti; ho trovato vari esempi online inerenti sistemi sintatticamente incompleti (l'assiomatica di Zermelo che può derivare l'ipotesi del continuo o la sua negazione) ma non sono stato in grado di rintracciarne alcuno su un sistema "semanticamente incompleto".
Potreste fornirmi un esempio di questo genere?

[Tuttle]

non ho capito esattamente quale sia il tuo problema: vuoi una distinzione rigorosa oppure degli esempi?
per la distinzione rigorosa non ci sono problemi: si tratta di due concetti piuttosto diversi
diciamo che un sistema è semanticamente completo se una formula è logicamente vera se e solo se è dimostrabile: in altre parole, in un sistema semanticamente completo le proposizioni logicamente vere e i teoremi (ovvero le proposizioni dimostrabili per derivazione a partire dagli assiomi) coincidono; i teoremi di completezza di post per il calcolo proposizionale o quello di goedel per la logica dei predicati del I ordine parlano di completezza semantica;
diciamo invece che un sistema è sintatticamente completo se ogni proposizione formulata nel suo linguaggio è deducibile, cioè se è provabile (ovvero è dimostrabile) oppure refutabile (ovvero la sua negazione è dimostrabile); in altre parole, un sistema è sintatticamente completo se, data una qualsiasi proposizione, possiamo dimostrare la proposizione stessa oppure la sua contraddittoria; il teorema di incompletezza di goedel fa riferimento appunto all'incompletezza sintattica;
quanto al problema degli esempi, un esempio di teoria sintatticamente incompleta è fornita dalle assiomatizzazioni dell'aritmetica (goedel, appunto)... quanto ad un esempio di teoria semanticamente incompleta.... mmmm... la domanda mi lascia perplesso... cmq attenzione: il teorema di completezza di post ad esempio, dimostra la completezza del calcolo proposizionale per certe assiomatizzazioni; non so da quale sistema di assiomi sia partito post, però di solito nei manuali si usa l'assiomatizzazione di lukasiewicz (negazione e condizionale come connettivi primitivi, tre assiomi, il modus ponens come unica regola di derivazione e i connettivi di cingiunzione, disgiunzione e bicondizionale introdotti per definizione come 'scritture abbreviate'); detto in modo intuitivo, post dimostra che quel sistema di assiomi è in grado di esprimere in modo completo le proprietà dei connettivi: la definizione teorica tramite gli assiomi e quella metateorica mediante le tavole di verità si corrispondono; ma non è detto che ogni sistema assiomatico sia altrettanto espressivo, prova a fare questo gioco: prendi un manuale di logica matematica e scegli una delle tante assiomatizzazioni possibili per il calcolo proposizionale (quelle usate dalla comunità scientifica sono tutte complete ovviamente), poi togli un assioma: senza dubbio il sistema ottenuto in tal modo sarà semanticamente incompleto

[Nicolaus]

Grazie mille Tuttle sei stato chiarissimo. Effettivamente la mia domanda non era molto "precisa".
La prossima volta cercherò di spiegarmi meglio. (è da poco che mi approccio a questo genere di cose!)

[Tuttle]

aggiungo dei dettagli: nell'esempio della mia risposta precedente ho un po' semplificato le cose
il discorso che ho fatto riguardo alle assiomatizzazioni, cioè che togliendo un assioma si ottiene presumibilmente un sistema semanticamente incompleto, vale solo alle condizioni che l'assiomatizzazione non sia ridondante, e la cosa non è così scontata
un'assiomatizzazione non è ridondante se i suoi assiomi sono indipendenti, cioè se ciascun assioma non può essere derivato a partire dagli altri; si tratta di un requisito di economia e semplicità formale: assumiamo soltanto gli assiomi strettamente necessari, evitando inutili 'doppioni'; si presume che le assiomatizzazioni usate non siano ridondanti, e in effetti alcune sono così 'snelle' che è difficile pensare che siano ridondanti.... penso a quella di lukasiewicz, che ha solo tre assiomi... per non parlare della (agghiacciante e comprensibilmente poco usata....) assiomatizzazione di nicod, che usa un solo connettivo (la 'sheffer's stroke') e un solo, lunghissimo assioma... però la cosa non è così scontata. storicamente, è clamoroso il caso del sistema dei Principia Mathematica (!): bernays dimostrò che uno degli assiomi era ridondante, e poteva essere derivato dagli altri.