Sistema lineare a coefficienti in $ZZ_n$
salve,
ho il seguente sistema lineare a coefficienti in $ZZ_7$:
$\{(5x + z = 3),(2x + 6y + 4z + 3t = 0),(3x + 3y + z +t = 3),(5x + 3y = 5):}$
ho perciò la seguente matrice ovviamente la seguente matrice completa:
$((5, 0, 1, 0, 3),(2, 6, 4, 3, 0),(3, 3, 1, 1, 3), (5,3,0,0,5))$
non mi sono chiari i passaggi che vengono effettuati nel passaggio dalla precedente a queste:
$((1, 0, 3, 0, 2),(2, 6, 4, 3, 0),(3, 3, 1, 1, 3), (5, 3, 0, 0, 5)) \Rightarrow$
$((1, 0, 3, 0, 2),(0, 6, 5, 3, 3),(0, 3, 6, 1, 4), (0, 3, 6, 0, 2))$
qui dovrebbe essere stato utilizzato il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
dove operazioni elementari di questo tipo dovrebbero essere state applicate:
- Scambiare tra loro due righe della matrice;
- Moltiplicare una riga della matrice per uno scalare non nullo;
- Sostituire a una riga quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un'altra riga.
potreste spiegarmi quali operazioni sono state fatte?
inoltre è qui che viene effettuata la conversione in $ZZ_7$ o alla fine quando si ottiene la forma normale
e si compone il sistema equivalente?
spero possiate cortesemente aiutarmi,
grazie mille.
ho il seguente sistema lineare a coefficienti in $ZZ_7$:
$\{(5x + z = 3),(2x + 6y + 4z + 3t = 0),(3x + 3y + z +t = 3),(5x + 3y = 5):}$
ho perciò la seguente matrice ovviamente la seguente matrice completa:
$((5, 0, 1, 0, 3),(2, 6, 4, 3, 0),(3, 3, 1, 1, 3), (5,3,0,0,5))$
non mi sono chiari i passaggi che vengono effettuati nel passaggio dalla precedente a queste:
$((1, 0, 3, 0, 2),(2, 6, 4, 3, 0),(3, 3, 1, 1, 3), (5, 3, 0, 0, 5)) \Rightarrow$
$((1, 0, 3, 0, 2),(0, 6, 5, 3, 3),(0, 3, 6, 1, 4), (0, 3, 6, 0, 2))$
qui dovrebbe essere stato utilizzato il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
dove operazioni elementari di questo tipo dovrebbero essere state applicate:
- Scambiare tra loro due righe della matrice;
- Moltiplicare una riga della matrice per uno scalare non nullo;
- Sostituire a una riga quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un'altra riga.
potreste spiegarmi quali operazioni sono state fatte?
inoltre è qui che viene effettuata la conversione in $ZZ_7$ o alla fine quando si ottiene la forma normale
e si compone il sistema equivalente?
spero possiate cortesemente aiutarmi,
grazie mille.
Risposte
Ciao.
Nel primo passaggio ha moltiplicato la prima riga per [tex]$\bar{3}$[/tex].
Ora che ha ottenuto l'uno alla prima riga, prograssivamente elimina tutti i primi termini (della x) alle altre equazioni, sottrae alla seconda il doppio della prima, alla terza il triplo etc.
La seconda domanda non mi è molto chiara, purtroppo. Se la riformuli e so la risposta, ti seguo volentieri.
Ciao!
Nel primo passaggio ha moltiplicato la prima riga per [tex]$\bar{3}$[/tex].
Ora che ha ottenuto l'uno alla prima riga, prograssivamente elimina tutti i primi termini (della x) alle altre equazioni, sottrae alla seconda il doppio della prima, alla terza il triplo etc.
La seconda domanda non mi è molto chiara, purtroppo. Se la riformuli e so la risposta, ti seguo volentieri.
Ciao!
ho capito grazie,
quindi già da subito si fanno i calcoli in $ZZ_7$.
Io stavo cercando invano di svolgere il metodo di eliminazione in $ZZ$.
pensavo che si dovesse prima trovare la matrice normale in $ZZ$
ottenere il sistema corrispondente e poi convertire il tutto in $ZZ_7$.
ma non è così a quanto pare.
quindi già da subito si fanno i calcoli in $ZZ_7$.
Io stavo cercando invano di svolgere il metodo di eliminazione in $ZZ$.
pensavo che si dovesse prima trovare la matrice normale in $ZZ$
ottenere il sistema corrispondente e poi convertire il tutto in $ZZ_7$.
ma non è così a quanto pare.
Certo, subito in [tex]$\mathbb{Z}/(7)$[/tex].
Devi immaginare di scordare la matrice, e lavorare a mani nude sull'equazione. Avendo
[tex]$5x+z=3$[/tex] con $5$ e $7$ elementi di [tex]$\mathbb{Z}/(7)$[/tex]
moltiplichi per $3$, sempre elemento di [tex]$\mathbb{Z}/(7)$[/tex] e ottieni
[tex]$x+3z=2$[/tex] e appunto è la stessa cosa.
Però appunto, stai lavorando con dei coefficienti particolari, quindi quando vai a moltiplicare, sommare etc devi usare sempre quelli, non puoi mischiare con altre cose.
Altrimenti tanto varrebbe passare subito ai razionali per esempio, o perché no ai reali.
Devi immaginare di scordare la matrice, e lavorare a mani nude sull'equazione. Avendo
[tex]$5x+z=3$[/tex] con $5$ e $7$ elementi di [tex]$\mathbb{Z}/(7)$[/tex]
moltiplichi per $3$, sempre elemento di [tex]$\mathbb{Z}/(7)$[/tex] e ottieni
[tex]$x+3z=2$[/tex] e appunto è la stessa cosa.
Però appunto, stai lavorando con dei coefficienti particolari, quindi quando vai a moltiplicare, sommare etc devi usare sempre quelli, non puoi mischiare con altre cose.
Altrimenti tanto varrebbe passare subito ai razionali per esempio, o perché no ai reali.
perchè se sottraggo la seconda riga con il doppio della prima ottengo $(0, 1, 2, 4, 4)$ e non $(0, 6, 5, 3, 3)$ ?
praticamente io faccio $2*(1,0,3,0,2) = (2,0,6,0,4)$
e poi $(2,0,6,0,4) + (5,1,3,4,0) = (0,1,2,4,4)$
praticamente io faccio $2*(1,0,3,0,2) = (2,0,6,0,4)$
e poi $(2,0,6,0,4) + (5,1,3,4,0) = (0,1,2,4,4)$
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