Sistema in Z8
come da titolo sto cercando di risolvere un sistema in Z8, non capisco per esempio perchè nelle soluzioni ci sono due x, io ne trovo solo una, la y la trovo per quello non c'è problema, vi scrito il sistema in seguito :
il sistema è in Z8
poi un altro dubbio, come faccio a sapere quando ci sono piu soluzioni per la x?
4x + 7y = 2 6x + 2y = 2
il sistema è in Z8
poi un altro dubbio, come faccio a sapere quando ci sono piu soluzioni per la x?
Risposte
Domanda facile: quale di quei coefficienti è un elemento invertibile in \(\displaystyle\mathbb{Z}_8\)?
7?
Sì, e che fai? TI ricordi che gli elementi invertibili sono anche...
"j18eos":
Sì, e che fai? TI ricordi che gli elementi invertibili sono anche...
sono coprimi .. o.o
No: gli elementi invertibili sono elementi regolari; cioè \(\displaystyle r\) è un elemento regolare del semigruppo \(\displaystyle(S,*)\) se:
\[
\forall x_1,y_1\in S\mid rx_1=ry_1\Rightarrow x_1=y_1;\\
\forall x_2,y_2\in S\mid x_2r=y_2r\Rightarrow x_2=y_2.
\]
Gli elementi invertibili dei semigruppi \(\displaystyle(\mathbb{Z}_m,\cdot)\) sono tutte e sole le classi di equivalenza dei numeri coprimi con \(\displaystyle m\).
Chiarito ciò, non ti resta che fare qualche calcolo nella prima equazione!
\[
\forall x_1,y_1\in S\mid rx_1=ry_1\Rightarrow x_1=y_1;\\
\forall x_2,y_2\in S\mid x_2r=y_2r\Rightarrow x_2=y_2.
\]
Gli elementi invertibili dei semigruppi \(\displaystyle(\mathbb{Z}_m,\cdot)\) sono tutte e sole le classi di equivalenza dei numeri coprimi con \(\displaystyle m\).
Chiarito ciò, non ti resta che fare qualche calcolo nella prima equazione!
"j18eos":
No: gli elementi invertibili sono elementi regolari; cioè \(\displaystyle r\) è un elemento regolare del semigruppo \(\displaystyle(S,*)\) se:
\[
\forall x_1,y_1\in S\mid rx_1=ry_1\Rightarrow x_1=y_1;\\
\forall x_2,y_2\in S\mid x_2r=y_2r\Rightarrow x_2=y_2.
\]
Gli elementi invertibili dei semigruppi \(\displaystyle(\mathbb{Z}_m,\cdot)\) sono tutte e sole le classi di equivalenza dei numeri coprimi con \(\displaystyle m\).
Chiarito ciò, non ti resta che fare qualche calcolo nella prima equazione!
io non ti seguo o.o
mi fai il calcolo cosi vedo il meccanismo o.o
Molto semplicemente, sei autorizzato a scrivere:
\[
4x+7y=2\\
7y=-4x+2
\]
e invertire il \(\displaystyle7_8\).
...e molto semplicemente, non sei autorizzato a scrivere:
\[
6x+2y=2\Rightarrow 3x+y=1.
\]
Ad esempio, sono entrambe vere per \(\displaystyle(3_8,0_8)\), ma solo la prima è vera per \(\displaystyle(3_8,4_8)\).
\[
4x+7y=2\\
7y=-4x+2
\]
e invertire il \(\displaystyle7_8\).
...e molto semplicemente, non sei autorizzato a scrivere:
\[
6x+2y=2\Rightarrow 3x+y=1.
\]
Ad esempio, sono entrambe vere per \(\displaystyle(3_8,0_8)\), ma solo la prima è vera per \(\displaystyle(3_8,4_8)\).
"j18eos":
Molto semplicemente, sei autorizzato a scrivere:
\[
4x+7y=2\\
7y=-4x+2
\]
e invertire il \(\displaystyle7_8\).
...e molto semplicemente, non sei autorizzato a scrivere:
\[
6x+2y=2\Rightarrow 3x+y=1.
\]
Ad esempio, sono entrambe vere per \(\displaystyle(3_8,0_8)\), ma solo la prima è vera per \(\displaystyle(3_8,4_8)\).
ok e fin qui ci siamo , io ottengo 6x=6 , ma ora come faccio a trovare le due soluzioni di x? io vedo x=1 ad occhio, e x=5 per calcolarla dove me la tiro fuori?
Al solito, noti che \(\displaystyle6=3\cdot2\) e poiché \(\displaystyle3_8\) è invertibile per cui puoi semplificare l'equazione in:
\[
2x=2\iff 2x-2=0\iff 2x-2=8\iff 2x=10\Leftarrow x=5.
\]
Lascio a te spiegare perché le soluzioni in \(\displaystyle x\) sono \(\displaystyle1_8\) e \(\displaystyle5_8\)!
\[
2x=2\iff 2x-2=0\iff 2x-2=8\iff 2x=10\Leftarrow x=5.
\]
Lascio a te spiegare perché le soluzioni in \(\displaystyle x\) sono \(\displaystyle1_8\) e \(\displaystyle5_8\)!
"j18eos":
Al solito, noti che \(\displaystyle6=3\cdot2\) e poiché \(\displaystyle3_8\) è invertibile per cui puoi semplificare l'equazione in:
\[
2x=2\iff 2x-2=0\iff 2x-2=8\iff 2x=10\Leftarrow x=5.
\]
Lascio a te spiegare perché le soluzioni in \(\displaystyle x\) sono \(\displaystyle1_8\) e \(\displaystyle5_8\)!
ti ringrazio
se posso approffittare il post ti chiedo un altro dubbio, se siamo in Z15, Y^2=4 ; io trovo
[formule]
y congruo a +-1 mod 3
y congruo a +-2 mod 5
[/formule]
per il teorema cinese e qui ci siamo, poi pero negli appunti ho che quindi le y sono 7,13,2,8, perchè?
Ho solo capito che utilizzi (giustamente) il teorema cinese del resto... e basta!
Puoi scrivere con le formule; grazie!
Puoi scrivere con le formule; grazie!
"j18eos":
Ho solo capito che utilizzi (giustamente) il teorema cinese del resto... e basta!
Puoi scrivere con le formule; grazie!
negli appunti dopo quella congruenze ho come soluzioni ;
y=7
y=13
y=2
y=8
da dove escono queste quattro soluzioni?
Puoi usare il codice LaTeX?
"j18eos":
Puoi usare il codice LaTeX?
se io ho
y \equiv +-1 mod 3
y \equiv +-2 mod 5
come faccio a far uscire le soluzioni :
y=7
y=7
y=13
y=2
y=8
spero di averlo scritto bene non so , ho letto LatexHelp
Uffà...
Hai \(\displaystyle x^2\equiv 4(mod\,15)\), per il teorema cinese del resto, questa equazione equivale al sistema:
\[
\begin{cases}
x^2\equiv 4\,(mod\,3)\\
x^2\equiv 4\,(mod\,5)
\end{cases}
\]
poiché stiamo lavorando su campi (finiti), tutti gli elementi sono regolari ed otteniamo mediante semplice calcolo:
\[
\begin{cases}
x\equiv\pm2\,(mod\,3)\\
x\equiv\pm2\,(mod\,5)
\end{cases}.
\]
Applica la definizione di numeri modulo interi!
Hai \(\displaystyle x^2\equiv 4(mod\,15)\), per il teorema cinese del resto, questa equazione equivale al sistema:
\[
\begin{cases}
x^2\equiv 4\,(mod\,3)\\
x^2\equiv 4\,(mod\,5)
\end{cases}
\]
poiché stiamo lavorando su campi (finiti), tutti gli elementi sono regolari ed otteniamo mediante semplice calcolo:
\[
\begin{cases}
x\equiv\pm2\,(mod\,3)\\
x\equiv\pm2\,(mod\,5)
\end{cases}.
\]
Applica la definizione di numeri modulo interi!
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