Sistema di equazioni parametrico

[matematicaforall]

Ciao a tutti, stavo vedendo un esercizio svolto sul mio libro sulla risoluzione di sistemi di equazioni parametrici:

$\{(kx+2y=2),((2k-1)x+3y=2),(kx+(k+3)y=2k-2):}$

Il libro per vedere per quali valori di $k$ il sistema abbia soluzioni usa il teorema di Rouchè-capelli, quindi abbiamo le seguenti matrici:

$A=((k,2),(2k-1,3),(k,k+3))$
$B=((k,2,2),(2k-1,3,2),(k,k+3,2k-2))$

il libro poi calcola il determinante della matrice $B$ che viene:

$2(4k-5)$

e quindi :

se $k != 5/4 $ il sistema è impossibile e fin qui ci siamo.

Invece se $k= 5/4$ dice che il sistema è compatibile , però non riesco a capire come fa a dedurlo. La mia domanda è questa:

se $k = 5/4 $ vuol dire che il determinante di $B$ è uguale a zero e quindi il suo rango sarà minore o uguale a $2$. Il rango di $A$ invece sarà minore uguale di $2$, però non può accadere , per esempio , che anche se $k = 5/4 $ il rango di $B$ sia $2$ ed il rango di $A$ sia $1$ e quindi di nuovo, anche se $k = 5/4 $ , il sistema non ha soluzione?

Non so se ho spiegato bene il mio dubbio, in caso ditemelo

Vi ringrazio per l'attenzione

[paolodocet]

Buongiorno matematicaforall.
Sia:

$\{(kx+2y=2),((2k-1)x+3y=2),(kx+(k+3)y=2k-2):}$

Come hai detto giustamente si considerano la matrice dei coefficienti, che è la seguente:

$A=((k,2),(2k-1,3),(k,k+3))$

E la matrice completa:

$B=((k,2,2),(2k-1,3,2),(k,k+3,2k-2))$

Affinché il sistema sia compatibile è necessario che rg(A) = rg(B) per il teorema di Rouché-Capelli.

Calcoliamo il $Delta(B)$ e lo imponiamo diverso da 0 per individuare k.
$Delta(B) = 2(4k-5)$

$2(4k-5) !=0 -> k !=5/4$

Quindi come dicevi giustamente, se $k != 5/4$ allora $rg(B) > rg(A)$ e dunque per il teorema di Rouche-Capelli, il sistema è impossibile.

A questo punto è necessario verificare cosa succede nel caso in cui:
$k=5/4$
Per cui si riscrive la matrice completa e quella incompleta sostituendo a $k=5/4$:

$A=((5/4,2),(5/2-1,3),(5/4,5/4+3))$


$B=((5/4,2,2),(5/2-1,3,2),(5/4,5/4+3,5/2-2))$

Della matrice B sappiamo che NON può avere rango massimo per quanto dimostrato prima. Quindi B avrà al più rango 2.
Andiamo a verificare se ha rango due, prendendo in considerazione il determinante una sottomatrice $2x2$, che chiamiamo C. Per esempio:

$C=((5/4,2),(5/2 -1, 3))$

Il determinante di C, vale:
$Delta(C) = -5/4 != 0$
Pertanto la matrice completa B, avrà rango 2.

Ora, qual è il rango della matrice incompleta con $k=5/4$, secondo te?