Sistema di congruenze, alcuni dubbi.

[unit1]

Salve,

Ho alcuni dubbi sui sistemi di congruenze, vi posto un esercizio che stavo tentando di risolvere:

-Trovare, se possibile, un numero naturale con le seguenti caratteristiche:
I) n è multiplo di 3, mentre diviso sia per 5 che per 13 di resto 2.
II) 500 < n < 700.

Risoluzione:

Il sistema che viene è il seguente:

$\{(x-=2 (mod 5)),(x-=2 (mod 13)),(x-=0 (mod 3)):}$

possiamo iniziare prendendo le prime 2 e vedendo che hanno il 2 in comune
quindi hanno la soluzione
$x=2+(5*13)K= 2+65K$ con $K in ZZ$

Ora dobbiamo risolvere:

$\{(x-=2 (mod 65)),(x-=0 (mod 3)):}$

usiamo bezout:

$65=3*21+2$
$3=2*1+1$
$2=1*2+0$

troviamo i resti:

$1=3-2$
$2=65-3*21$


$1=3-2=3-(65-3*21)=3-65+3*21=3*22-65=3*22+(-1)*65$

Ora la mia domanda è: che differenza c'è ad usare il $(-1)*65$ oppure il $3*22$? Quando devo usare uno e quando un altro, la professoressa usa una volta il primo e una il secondo. Poi fà tutti calcoli che non spiega il significato.

[Zero87]

Premetto che la mia non è una risposta, è un'idea. Non ho mai seguito (e mi spiace!) un corso di TDN o algebra.

Invece di ingarbugliarsi, dato che 3, 5 e 15 sono tutti primi tra loro, non si potrebbe utilizzare il teorema cinese del resto?

(Io l'ho studiato in logica: sta su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_cinese_del_resto).