Sistema di assiomi + assioma
In generale, se a un sistema di assiomi (coerente) aggiungo un'altro assioma (indipendente dagli altri per cui risulti ancora coerente la mia teoria) la completezza, o la vastità o il "numero di teoremi" della mia teoria (non so bene come chiamarla...) aumenta o diminuisce?
Banalmente se di una proposizione non derivabile dagli assiomi ne faccio un assioma ecco che la mia teoria si allarga.
Per esempio l'assiomatizzazione proposta da Hilber per la geometria euclidea aggiunge alcuni assiomi ed "allarga" la teoria, ma è sempre così? o c'è un limite?
Banalmente se di una proposizione non derivabile dagli assiomi ne faccio un assioma ecco che la mia teoria si allarga.
Per esempio l'assiomatizzazione proposta da Hilber per la geometria euclidea aggiunge alcuni assiomi ed "allarga" la teoria, ma è sempre così? o c'è un limite?
Risposte
Ummm, aspetta non ho capito bene. Provo ad esprimermi meglio. Tu nel redigere il tuo sistema formale hai scelto vari simboli, poi con questi simboli hai costruito degli assiomi e infine hai dato delle regole di deduzione. Non hai dato, invece, definizioni. Quello che voglio dire è: le definizioni che fanno parte di un sistema formale (ammesso che ci siano definizioni; infatti, nel tuo non ce ne sono) altro non sono che espressioni del tipo .......:=......dove a sinistra di := c'è un simbolo arbitrario (non necessariamente coincidente con quelli che ho scelto nel mio sistema) mentre alla destra c'è una stringa fatta con i simboli sui quali ho fondato il sistema?
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
"lisdap":
Ummm, aspetta non ho capito bene. Provo ad esprimermi meglio. Tu nel redigere il tuo sistema formale hai scelto vari simboli, poi con questi simboli hai costruito degli assiomi e infine hai dato delle regole di deduzione. Non hai dato, invece, definizioni. Quello che voglio dire è: le definizioni che fanno parte di un sistema formale (ammesso che ci siano definizioni; infatti, nel tuo non ce ne sono) altro non sono che espressioni del tipo .......:=......dove a sinistra di := c'è un simbolo arbitrario (non necessariamente coincidente con quelli che ho scelto nel mio sistema) mentre alla destra c'è una stringa fatta con i simboli sui quali ho fondato il sistema?
In generale direi di no. Se vuoi definire $l$ come $wasw$, a rigore dovresti aggiungere alla teoria un nuovo simbolo ($l$) e una o più nuove regole d'inferenza ("$XwaswY$" se e solo se "$XlY$").
Ciao, grazie per la risposta. Però non ho capito perché per dare la definizione mi serve la regola di inferenza. Altra domanda: $X$ e $Y$ sono le variabili?
Se si, dentro le variabili ci si inseriscono i simboli che ho posto a fondamento del mio sistema?
Grazie, mi stai aiutando molto a capire come funziona la Matematica!
Se si, dentro le variabili ci si inseriscono i simboli che ho posto a fondamento del mio sistema?
Grazie, mi stai aiutando molto a capire come funziona la Matematica!
"lisdap":
Però non ho capito perché per dare la definizione mi serve la regola di inferenza.
Per rendere conto del fatto che $l$ sia "la stessa cosa" di $wasw$, ci serve una regola che ci consenta di passare con disinvoltura dall'una all'altra in qualunque situazione.
"lisdap":
Altra domanda: $X$ e $Y$ sono le variabili?
Se si, dentro le variabili ci si inseriscono i simboli che ho posto a fondamento del mio sistema?
Stanno ad indicare qualsivoglia successione di simboli del sistema.
Ciao, scusa un attimo, prima di ragionare sull'ultima questione volevo essere sicuro di aver ben capito questa cosa.
Tu hai posto a fondamento del tuo sistema i simboli $a$, $k$ e $w$ e con questi simboli hai costruito una stringa, l'assioma, che rappresenta il punto di partenza per fare deduzioni. Poi hai scritto la regola di inferenza $XkY$ -> $YX$. Io volevo ragionare sulla regola di inferenza che hai scritto. In essa compaiono i simboli $X$ e $Y$. Suppongo che funzioni in questo modo: dentro $X$ ci metto un simbolo, ad esempio $a$ e dentro $Y$ ci metto $k$. Ottengo quindi che dalla stringa $akk$ posso dedurre la stringa $ka$. Funziona così la regola di inferenza?
Grazie mille e buona domenica!
Tu hai posto a fondamento del tuo sistema i simboli $a$, $k$ e $w$ e con questi simboli hai costruito una stringa, l'assioma, che rappresenta il punto di partenza per fare deduzioni. Poi hai scritto la regola di inferenza $XkY$ -> $YX$. Io volevo ragionare sulla regola di inferenza che hai scritto. In essa compaiono i simboli $X$ e $Y$. Suppongo che funzioni in questo modo: dentro $X$ ci metto un simbolo, ad esempio $a$ e dentro $Y$ ci metto $k$. Ottengo quindi che dalla stringa $akk$ posso dedurre la stringa $ka$. Funziona così la regola di inferenza?
Grazie mille e buona domenica!
Esatto. Puoi inserirci qualunque simbolo o stringa di simboli.
Non c'è nulla di particolare in quelle che ho inventato qui; basta che siano regole che permettono di trasformare in qualche maniera definita una successione di simboli.
Non c'è nulla di particolare in quelle che ho inventato qui; basta che siano regole che permettono di trasformare in qualche maniera definita una successione di simboli.
"Caenorhabditis":
Esatto. Puoi inserirci qualunque simbolo o stringa di simboli.
Non c'è nulla di particolare in quelle che ho inventato qui; basta che siano regole che permettono di trasformare in qualche maniera definita una successione di simboli.
Ok grazie, perfetto....per quanto riguarda i simboli/termini a fondamento di ZFC, sul pagani-salsa leggo che c'è anche il termine "insieme", sei d'accordo:)?
"Caenorhabditis":
Stanno ad indicare qualsivoglia successione di simboli del sistema.
Ok, prendiamo l'assioma di estensionalità:
$X=Y$ $ hArr $ $AA z$ $:$ $(z in X hArr z in Y)$
Dentro $X$, $Y$ e $z$ ci posso mettere uno qualunque dei simboli di ZFC?
"lisdap":
Ok grazie, perfetto....per quanto riguarda i simboli/termini a fondamento di ZFC, sul pagani-salsa leggo che c'è anche il termine "insieme", sei d'accordo:)?
Le lettere maiuscole sono usualmente interpretate come "insiemi".
"lisdap":
[quote="Caenorhabditis"]
Stanno ad indicare qualsivoglia successione di simboli del sistema.
Ok, prendiamo l'assioma di estensionalità:
$ X=Y $ $ hArr $ $ AA z $ $ : $ $ (z in X hArr z in Y) $
Dentro $ X $, $ Y $ e $ z $ ci posso mettere uno qualunque dei simboli di ZFC?[/quote]
ZFC è un tantinello più complesso del nostro sistema-giocattolo, e ammucchiando dei simboli a caso molto probabilmente otterresti una formula che non è "ben formata" (una formula si dice ben formata quando corrisponde a delle regole grammaticali che rendono possibile la sua verità), per esempio "$\forall \not A ZA \forall$". Non studiato in dettaglio il funzionamento tecnico della teoria degli insiemi (un giorno lo farò), ma a rigor di logica presumo che qui $ X $, $ Y $ e $ z $ non rappresentino qualunque cosa: $ X $ e $ Y $ rappresentano insiemi, e quindi dovrebbero potersi sostituire sostituire solo con altre lettere maiuscole (che indicano ugualmente insiemi) oppure con stringhe ben formate più articolate che indichino ugualmente un insieme (es. "$((R \cap N) \cup W)$"), mentre $z$, che rappresenta un elemento, può essere sostituito solo da altre lettere minuscole (che vanno bene per indicare elementi).
Ciao, mettendo per ora da parte la tua ultima risposta (ci sto ragionando), ti volevo chiedere: fra i simboli del sistema giocattolo che hai creato, non dovresti includere anche $X$ e $Y$ (variabili) che hai usato per la formulazione delle regole di deduzione?
"lisdap":
Ciao, mettendo per ora da parte la tua ultima risposta (ci sto ragionando), ti volevo chiedere: fra i simboli del sistema giocattolo che hai creato, non dovresti includere anche $X$ e $Y$ (variabili) che hai usato per la formulazione delle regole di deduzione?
No, perché li ho usati solo per descrivere il meccanismo delle regole, e non come simboli propriamente detti. Se li avessi inclusi nell'elenco dei simboli (come avviene in ZF, dove tutte le lettere lo sono), non potrei più usarli per indicare in genere "qualunque cosa", ma dovrei ricorrere a qualche altra notazione.
"Caenorhabditis":
[quote="lisdap"]Ciao, mettendo per ora da parte la tua ultima risposta (ci sto ragionando), ti volevo chiedere: fra i simboli del sistema giocattolo che hai creato, non dovresti includere anche $X$ e $Y$ (variabili) che hai usato per la formulazione delle regole di deduzione?
No, perché li ho usati solo per descrivere il meccanismo delle regole, e non come simboli propriamente detti. Se li avessi inclusi nell'elenco dei simboli (come avviene in ZF, dove tutte le lettere lo sono), non potrei più usarli per indicare in genere "qualunque cosa", ma dovrei ricorrere a qualche altra notazione.[/quote]
Ottima risposta, concordo pienamente!
E in ZFC come è formulata una regola di inferenza? Infatti non posso usare $X$ e $Y$ come nel tuo sistema giocattolo visto che $X$ e $Y$ sono dei simboli che fanno parte del linguaggio ZFC.
Altra domanda: quanti sono i simboli di ZFC? 10, 20, infiniti?
Grazie!
"lisdap":
E in ZFC come è formulata una regola di inferenza? Infatti non posso usare $X$ e $Y$ come nel tuo sistema giocattolo visto che $X$ e $Y$ sono dei simboli che fanno parte del linguaggio ZFC.
Basta usare qualunque simbolo strano, purché ci si faccia capire. ZFC "eredita" tutte le sue regole di inferenza dalla logica del primo ordine, dove vengono solitamente le proposizioni vengono espresse con le lettere $p$ e $q$.
"lisdap":
Altra domanda: quanti sono i simboli di ZFC? 10, 20, infiniti?
Non ce n'è una formulazione unica. Volendo economizzare al massimo, possiamo sostituire tutte le varie lettere {$A$, $a$, $B$, $b$, ...} con i tre simboli $a$, $A$ e $'$, esprimendo gli elementi come $a$, $a'$, $a''$, etc., e gli insiemi come $A$, $A'$, $A''$, etc.. Aggiungendo le parentesi, i due quantificatori e i connettivi di congiunzione, disgiunzione, negazione ed implicazione, $=$ ed $\in$ siamo a 13 (sempre che non abbia dimenticato niente).
"Caenorhabditis":
Basta usare qualunque simbolo strano, purché ci si faccia capire.
Ok, simbolo che però non compare fra i simboli a fondamento del sistema, giusto?
"Caenorhabditis":
Non ce n'è una formulazione unica. Volendo economizzare al massimo, possiamo sostituire tutte le varie lettere {$A$, $a$, $B$, $b$, ...} con i tre simboli $a$, $A$ e $'$, esprimendo gli elementi come $a$, $a'$, $a''$, etc., e gli insiemi come $A$, $A'$, $A''$, etc.. Aggiungendo le parentesi, i due quantificatori e i connettivi di congiunzione, disgiunzione, negazione ed implicazione, $=$ ed £\in$ siamo a 13 (sempre che non abbia dimenticato niente).
Che la formulazione non era unica me ne ero accorto, visto che ogni dispensa che ho consultato fa un pò come le pare. Il pagani-salsa, in una piccola appendice sull'argomento, include fra i simboli di ZFC anche la parola "insieme", parola che in altre esposizioni dell'argomento non viene citata. C'è effettivamente "insieme" a fondamento di ZFC?
Grazie mille!!!
"lisdap":
Ok, simbolo che però non compare fra i simboli a fondamento del sistema, giusto?
Esatto.
"lisdap":
Il pagani-salsa, in una piccola appendice sull'argomento, include fra i simboli di ZFC anche la parola "insieme", parola che in altre esposizioni dell'argomento non viene citata. C'è effettivamente "insieme" a fondamento di ZFC?
In che senso include la parola "insieme"? La successione di lettere i-n-s-i-e-m-e? Per quanto ne so, gli insiemi sono indicati da lettere maiuscole, e non dal termine corrispondente nella lingua italiana.
Il pagani salsa dice che il linguaggio di ZFC è composto da:
-simboli di variabili;
-quantificatori;
- i predicati $in$, $=$, "insieme"....più altre cose.
Ciao.
-simboli di variabili;
-quantificatori;
- i predicati $in$, $=$, "insieme"....più altre cose.
Ciao.
Ok, ma è un'introduzione informale o sta effettivamente elencando i simboli del sistema? Nel secondo caso, c'è qualche esempio di come venga usato questo $ '' \mbox{insieme} ''$?
[xdom="Raptorista"]Sposto nella sezione di Algebra, dove è più appropriato.
P.s. lisdap necroposter![/xdom]
P.s. lisdap necroposter![/xdom]
Cosa si intende per sistema di assiomi ?
"Caenorhabditis":
Ok, ma è un'introduzione informale o sta effettivamente elencando i simboli del sistema? Nel secondo caso, c'è qualche esempio di come venga usato questo $ '' \mbox{insieme} ''$?
Ciao, il pagani salsa dice chiaramente che il termine "insieme" fa parte del linguaggio di ZCF. Inoltre specifica che tra le frasi ammesse nella teoria figura anche "$X$ è un insieme".
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