Sistema di 3 equazioni in 3 incognite

[angelo.intile]

Salve a tutti.
Devo risolvere il seguente sistema:

$ { ( y+1-2lambdax=0 ),( x-1-2lambday=0 ),( x^2+y^2=1 ):} $

Ho pensato di risolverlo per sostituzione. Esplicitando la $y$ nella prima equazione, e sostituendo nelle altre due si ha:

$ { ( y=2lambdax-1 ),( x-4lambda^2x+2lambda=1 ),( x^2+4lambda^2x^2+4lambdax=0 ):} $

Raccogliendo a fattor comune nella terza equazione:

$ x(x+4lambda^2x+4lambda)=0 $

da cui si hanno le due soluzioni

$ x=0 $ e $ x=-(4lambda)/(1+4lambda^2) $

Pertanto, ponendo $ x=0 $ dal sistema si ottiene la seguente tripla di soluzioni:

$ x=0, y=-1, lambda=1/2 $

Ponendo invece $ x=-(4lambda)/(1+4lambda^2) $ si ottiene la seguente tripla di soluzioni:

$ x=-1, y=-2, lambda=1/2 $

Esplicitando poi la $x$ dalla seconda equazione e sostituendo nelle altre due equazioni si ha:

$ { ( y+1-4lambda^2y-2lambda=0 ),( x=2lambday+1 ),( 4lambda^2y^2+y^2-4lambday=0 ):} $

Raccogliendo a fattor comune:

$ y(4lambda^2y+y-4lambda)=0 $

da cui si hanno le due soluzioni

$ y=0 $ e $ y=(4lambda)/(1+4lambda^2) $

Ponendo $ y=0 $ dal sistema si ottiene la seguente tripla di soluzioni:

$ x=1, y=0, lambda=1/2 $

Ponendo $ y=(4lambda)/(1+4lambda^2) $, dalla prima equazione del sistema di ottiene un polinomio di terzo grado:

$ -8lambda^3+4lambda^2+2lambda+1=0 $

Non ho calcolato ancora la soluzione di questo polinomio.

Per verificare se i risultati che sto ottenendo sono corretti, ho provato a risolvere il sistema su wolframalpha, che fornisce queste quattro triple di soluzione:

$ x=0, y=-1, lambda=1/2 $

$ x=1, y=0, lambda=1/2 $

$ x=-1/sqrt(2), y=1/sqrt(2), lambda=-1/2-1/sqrt(2) $

$ x=1/sqrt(2), y=-1/sqrt(2), lambda=-1/2+1/sqrt(2) $

Le prime due soluzioni coincidono con le mie, ma una delle mie soluzioni non compare, ovvero questa:

$ x=-1, y=-2, lambda=1/2 $

Sto sbagliando qualcosa nel procedimento o nei calcoli?

Grazie in anticipo a chi mi aiuterà

[j18eos]

Sì, secondo sistema, seconda equazione: dovresti scrivere \(\displaystyle+2\lambda\).

[angelo.intile]

"j18eos":Sì, secondo sistema, seconda equazione: dovresti scrivere \(\displaystyle+2\lambda\).

Hai ragione, avevo commesso un errore di battitura, il resto è giusto. Ma i risultati non coincidono totalmente con quelli di wolframalpha.

[j18eos]

...e secondo sistema, terza equazione: dovresti scrivere \(\displaystyle-4\lambda x\).

Forse sarebbe il caso di ricontrollare tutti i segni?

Così, giusto per velocizzare il computo?!

[gugo82]

Quello che mi domando è se serva davvero usare i moltiplicatori di Lagrange?
Non è che si può fare in altro modo? Pensaci un po’…

[@melia]

Scusatemi ma non capisco, prima ricavi un'incognita e risolvi il sistema, poi ne ricavi un'altra e risolvi, che senso ha?
$ { ( y+1-2lambdax=0 ),( x-1-2lambday=0 ),( x^2+y^2=1 ):} $
Dalla prima equazione ricavi $y$ e lo sostituisci nelle altre due, dalla terza equazione ricavi le $x$ e ottieni due soluzioni, per $x=0$ risolvi rapidamente e ottieni la terna $(0, -1, 1/2)$ per l'altro valore di $x$ che dipende da $lambda$ vai a sostituire nella seconda equazione, in questo modo ottieni un'equazione di terzo grado in $lambda$, l'equazione ammette 3 soluzioni
$lambda=1/2$, che genera la terna $(1, 0, 1/2)$
$lambda= -1/2-sqrt2/2$, che genera la terna $(-sqrt2/2, sqrt2/2, -1/2-sqrt2/2)$
$lambda= -1/2+sqrt2/2$, che genera la terna $(sqrt2/2, -sqrt2/2, -1/2+sqrt2/2)$

Non capisco perché una volta risolto parzialmente il primo sistema vai a ricavare una diversa incognita per incasinarti di nuovo.

[angelo.intile]

"@melia":Scusatemi ma non capisco, prima ricavi un'incognita e risolvi il sistema, poi ne ricavi un'altra e risolvi, che senso ha?
$ { ( y+1-2lambdax=0 ),( x-1-2lambday=0 ),( x^2+y^2=1 ):} $
Dalla prima equazione ricavi $y$ e lo sostituisci nelle altre due, dalla terza equazione ricavi le $x$ e ottieni due soluzioni, per $x=0$ risolvi rapidamente e ottieni la terna $(0, -1, 1/2)$ per l'altro valore di $x$ che dipende da $lambda$ vai a sostituire nella seconda equazione, in questo modo ottieni un'equazione di terzo grado in $lambda$, l'equazione ammette 3 soluzioni
$lambda=1/2$, che genera la terna $(1, 0, 1/2)$
$lambda= -1/2-sqrt2/2$, che genera la terna $(-sqrt2/2, sqrt2/2, -1/2-sqrt2/2)$
$lambda= -1/2+sqrt2/2$, che genera la terna $(sqrt2/2, -sqrt2/2, -1/2+sqrt2/2)$

Non capisco perché una volta risolto parzialmente il primo sistema vai a ricavare una diversa incognita per incasinarti di nuovo.

Hai perfettamente ragione, mi ero incasinato sbagliando un segno nella sostituzione e quindi il polinomio di terzo grado in $lambda$ non era corretto.

Grazie mille