Simpatico esercizio sulla cardinalità di $M_n(ZZ_p)$

[Kashaman]

Tempo fa, il giorno dell'esame di Algebra 1 il mio esaminatore mi propose un simpatico esercizio, di cui, all'epoca , non seppi rispondere. Oggi, ripensandoci, a qualche mese di distanza, penso di esser giunto ad una conclusione, chiedo a voi conferma.


Quesito Sia $M_n(ZZ_p) $ l'anello delle matrici quadrate di ordine $n$ a coefficenti in $ZZ_p$. Quanti elementi ha questo anello?

Ho pensato di agire così.
Consideriamo $V= M_n(ZZ_p)$ come $ZZ_p$ spazio vettoriale .
Una base di $V$ è data da
$B_V = $
$a_1 $= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0... &0\\
. & &. &. \\
. &. & & .\\
0 & . & .& 0
\end{pmatrix} ,
$a_2 = $
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0... &0\\
. & &. &. \\
. &. & & .\\
0 & . & .& 0
\end{pmatrix}
.
.
.
.
$a_(n^2) =$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0... &0\\
. & &. &. \\
. &. & & .\\
0 & . & .& 1
\end{pmatrix} .


Poiché $B_V$ è base, ogni elemento di $V$ si esprime come combinazione lineare delle matrici $a_1,...,a_(n^2)$.

Cioè detti $\lambda_1,...,\lambda_(n^2) \in ZZ_p$ si ha che se $v in V => v= \lambda_1a_1+\lambda_2a_2+......+\lambda_(n^2) a_(n^2)$ . (1).

Da (1) si deduce che la cardinalità di $V$ coincide con il numero di combinazioni lineari effettuabili tra gli $a_i$ e i $\lambda_i$.
In Altre parole le combinazioni lineari sono tante quanti le possibili enuple $(\lambda_1,...,\lambda_(n^2)) \in ZZ_p^(n^2)$ , cioè $p^(n^2)$. Dunque $|V| = p^(n^2)$.

Che ne dite , ci ho azzeccato oppure sono andato fuori strada? Grazie mille.



EDIT : Corretto errore.

[Studente Anonimo]

Forse vuoi dire [tex]p^{n^2}[/tex]? Hai [tex]p[/tex] scelte per ogni entrata della matrice, che ha [tex]n^2[/tex] entrate. Insomma, le matrici che hai elencato non sono [tex]n[/tex] ma [tex]n^2[/tex].

Conta le matrici invertibili, è più divertente

[Kashaman]

Giusto martino! Piccola svista, la dimensione di $V$ è $n^2$ , che sciocco!

Ci proverò!