Simpatica equazione con la funzione parte intera
Salve a tutti!
Dovrei risolvere la seguente equazione con la funzione parte intera:
$ x\floor{x\floor{x}}=82 $
Numericamente credo di aver trovato la soluzione 41/9, ma analiticamente non saprei come procedere perchè non riesco a ricondurre questa equazione ad un esempio già risolto.
Grazie in anticipo per le risposte!!!
Dovrei risolvere la seguente equazione con la funzione parte intera:
$ x\floor{x\floor{x}}=82 $
Numericamente credo di aver trovato la soluzione 41/9, ma analiticamente non saprei come procedere perchè non riesco a ricondurre questa equazione ad un esempio già risolto.
Grazie in anticipo per le risposte!!!
Risposte
Ciao! E' chiaro che $x$ dev'essere positivo e che [tex]x-1 < \lfloor x \rfloor \leq x[/tex]. Quindi [tex]82 = x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor \leq x^2 \lfloor x \rfloor \leq x^3[/tex] da cui [tex]x \geq \sqrt[3]{82}[/tex]. Adesso usa l'altra diseguaglianza per dedurre una stima da sopra. Poi detto [tex]m = \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor[/tex] io scriverei [tex]x = 82/m[/tex] da cui usando [tex]82 \leq x^3[/tex] ottieni [tex]m \leq 18[/tex].
Io proverei a ragionare così, ditemi se è corretto.
Le soluzioni vanne cercate sul semiasse reale positivo.
Poniamo $x= n + \delta$, dove $n$ è la parte intera e $\delta$ è la parte frazionaria con $0 \leq \delta < 1$.
Siccome $xfloor{xfloor{x}}=82$ e $xfloor{xfloor{x}} \leq x^3$ si deve avere $( x \geq root{3}{82}~~ 4.344)$ e pertanto $n \geq 4$.
Siccome già 5 non è più soluzione dell'equazione, anche i numeri maggiori di 5 non lo sono e pertanto $n=4$.
L'equazione a questo punto diventa:
$(4+\delta)\cdot floor{16+4\delta}=82$
Questa equazione è equivalente ai 4 seguenti sistemi:
$0 \leq \delta < 1/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+0)=82$
$1/4 \leq \delta < 2/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+1)=82$
$2/4 \leq \delta < 3/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+2)=82$
$3/4 \leq \delta < 4/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+3)=82$
Di cui solo il terzo ammette una soluzione che è pari a $\delta=5/9$.
Le soluzioni vanne cercate sul semiasse reale positivo.
Poniamo $x= n + \delta$, dove $n$ è la parte intera e $\delta$ è la parte frazionaria con $0 \leq \delta < 1$.
Siccome $xfloor{xfloor{x}}=82$ e $xfloor{xfloor{x}} \leq x^3$ si deve avere $( x \geq root{3}{82}~~ 4.344)$ e pertanto $n \geq 4$.
Siccome già 5 non è più soluzione dell'equazione, anche i numeri maggiori di 5 non lo sono e pertanto $n=4$.
L'equazione a questo punto diventa:
$(4+\delta)\cdot floor{16+4\delta}=82$
Questa equazione è equivalente ai 4 seguenti sistemi:
$0 \leq \delta < 1/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+0)=82$
$1/4 \leq \delta < 2/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+1)=82$
$2/4 \leq \delta < 3/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+2)=82$
$3/4 \leq \delta < 4/4$ e $(4+\delta)\cdot(16+3)=82$
Di cui solo il terzo ammette una soluzione che è pari a $\delta=5/9$.
Aggiungo solo qualche commento.
Il prodotto di \(x\) per un numero intero è un numero intero, quindi \(\displaystyle x = \frac{a}{b}\) con \(\displaystyle a,b\in \mathbb{N} \) coprimi (perché 82 non è un cubo perfetto).
Siccome \(82 = 2\cdot 41\), allora \(a\) può assumere solo i valori \(1, 2, 41 e 82\). I primi due sono da escludere perché la prima parte intera andrebbe a 0 annullando l'intero prodotto.
Il prodotto di \(x\) per un numero intero è un numero intero, quindi \(\displaystyle x = \frac{a}{b}\) con \(\displaystyle a,b\in \mathbb{N} \) coprimi (perché 82 non è un cubo perfetto).
Siccome \(82 = 2\cdot 41\), allora \(a\) può assumere solo i valori \(1, 2, 41 e 82\). I primi due sono da escludere perché la prima parte intera andrebbe a 0 annullando l'intero prodotto.
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