Sigma-algebra di Borel su $RR$ euclideo
L'insieme delle parti di $RR$ ha potenza superiore al continuo.
La sigma-algebra di Borel su $RR$ euclideo ha la potenza del continuo.
Quindi esiste un insieme che ha potenza superiore al continuo di sottoinsiemi di $RR$ euclideo che non sono boreliani!
Qualcuno può fornirmi degli esempi di tali insiemi?
Inoltre, che tipo di misura si può costruire a partire dalla sigma-algebra di Borel su $RR$ euclideo?
La sigma-algebra di Borel su $RR$ euclideo ha la potenza del continuo.
Quindi esiste un insieme che ha potenza superiore al continuo di sottoinsiemi di $RR$ euclideo che non sono boreliani!
Qualcuno può fornirmi degli esempi di tali insiemi?
Inoltre, che tipo di misura si può costruire a partire dalla sigma-algebra di Borel su $RR$ euclideo?
Risposte
Comincio dal fondo: sulla sigma algebra di Borel puoi costruire la misura di Lebesgue; infatti si sa che tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue, quindi la sigma algebra di Borel è contenuta nella sigma algebra degli insiemi Lebesgue-misurabili.
Quanto all'esempio che chiedi non ne ho idea, si potrebbe cercare un esempio di sottoinsieme dell'insieme delle parti di $\RR$ che è in corrispondenza 1 a 1 con l'insieme delle parti di $\RR$, ma queste cose non sono mai facili a quanto ne so. L'insieme della parti di $\RR$ stesso ovviamente ha potenza superiore a quella del continuo e contiene insiemi che non sono boreliani. Se prendi la misura di Lebesgue, allora un insieme non misurabile non è boreliano, per esempio, e la costruzione di un insieme non misurabile è una cosa classica che si trova su testi, forse anche in rete, richiede l'assioma della scelta.
Quanto all'esempio che chiedi non ne ho idea, si potrebbe cercare un esempio di sottoinsieme dell'insieme delle parti di $\RR$ che è in corrispondenza 1 a 1 con l'insieme delle parti di $\RR$, ma queste cose non sono mai facili a quanto ne so. L'insieme della parti di $\RR$ stesso ovviamente ha potenza superiore a quella del continuo e contiene insiemi che non sono boreliani. Se prendi la misura di Lebesgue, allora un insieme non misurabile non è boreliano, per esempio, e la costruzione di un insieme non misurabile è una cosa classica che si trova su testi, forse anche in rete, richiede l'assioma della scelta.
"Luca.Lussardi":
Comincio dal fondo: sulla sigma algebra di Borel puoi costruire la misura di Lebesgue; infatti si sa che tutti gli aperti sono misurabili secondo Lebesgue, quindi la sigma algebra di Borel è contenuta nella sigma algebra degli insiemi Lebesgue-misurabili.
Quanto all'esempio che chiedi non ne ho idea, si potrebbe cercare un esempio di sottoinsieme dell'insieme delle parti di $\RR$ che è in corrispondenza 1 a 1 con l'insieme delle parti di $\RR$, ma queste cose non sono mai facili a quanto ne so. L'insieme della parti di $\RR$ stesso ovviamente ha potenza superiore a quella del continuo e contiene insiemi che non sono boreliani. Se prendi la misura di Lebesgue, allora un insieme non misurabile non è boreliano, per esempio, e la costruzione di un insieme non misurabile è una cosa classica che si trova su testi, forse anche in rete, richiede l'assioma della scelta.
non ti capisco, prima dici che non hai idea dell'"esempio" e poi ne esibisci uno... a quale "esempio" chiesto da Kroldar ti riferisci all'inizio?
"Quindi esiste un insieme che ha potenza superiore al continuo di sottoinsiemi di $\RR$ euclideo che non sono boreliani! "
A meno di tutto l'insieme delle parti di $\RR$ non saprei...
A meno di tutto l'insieme delle parti di $\RR$ non saprei...
"Luca.Lussardi":
"Quindi esiste un insieme che ha potenza superiore al continuo di sottoinsiemi di $\RR$ euclideo che non sono boreliani! "
A meno di tutto l'insieme delle parti di $\RR$ non saprei...
Forse l'insieme delle parti del ternario? Sinceramente nn mi ricordo se è Borelliano o meno, ma sicuro il suo insieme delle parti ha la stessa cardinalità dell'insieme delle parti di $\RR$.
"Luca.Lussardi":
"Quindi esiste un insieme che ha potenza superiore al continuo di sottoinsiemi di $\RR$ euclideo che non sono boreliani! "
A meno di tutto l'insieme delle parti di $\RR$ non saprei...
ah
Che cosa e' l'insieme delle parti del ternario?
"Luca.Lussardi":
Che cosa e' l'insieme delle parti del ternario?
L'insieme di tutti i sottoinsiemi del ternario di Cantor ha cardinalità superiore al continuo... infatti l'insieme di Cantor può essere messo in corrispondenza 1-1 con $RR$. Tuttavia non sò se il ternario sia Borelliano. Se non è borelliano abbiamo l'esempio cercato altrimenti no.
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