Si può dimostrare l'irrazionalità di una somma di radicali?
TESI
Si può dimostrare che:
$ n*root(2)(2)+ m*root(2)(3)$ è un numero irrazionale, ovvero che:
$ n*root(2)(2)+ m*root(2)(3) != p/q $
per ogni n,m,p,q interi.
TENTATIVO 1)
Ho risolto il problema per $m=n$, ma a me interessa il caso generale con $n!=m$
Comunque ecco il caso particolare:
$ n*root(2)(2)+ n*root(2)(3) = n*(root(2)(2)+ root(2)(3))$
da cui si ottiene la contraddizione:
$ (root(2)(2)+ root(2)(3))= p /(n*q)$
TENTATIVO 2)
Non so se può servire ma tentando questa dimostrazione ho trovato che:
$ n*root(2)(2)+ m*root(2)(3) != 0 $
per ogni n,m interi perchè altrimenti potrebbe ottenersi la seguente contraddizione:
$ n/m=root(2)(3/2)$
TENTATIVO 3)
Altro tentativo che ho fatto è vedere se si poteva dimostrare che ad essere irrazionale fosse:
$ n*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$
per ogni n intero.
Ho provato a dimostrarlo per induzione sfruttando il fatto che:
$ 1*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$ è irrazionale,
ma supponendo che :
$ n*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$ è irrazionale,
esce fuori che :
$ (n+1)*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$ può invece essere razionale.
RICHIESTA
C'è qualcuno che è in grado di risolvere il problema iniziale, magari il prima possibile????
Non credo debba essere difficile
Si può dimostrare che:
$ n*root(2)(2)+ m*root(2)(3)$ è un numero irrazionale, ovvero che:
$ n*root(2)(2)+ m*root(2)(3) != p/q $
per ogni n,m,p,q interi.
TENTATIVO 1)
Ho risolto il problema per $m=n$, ma a me interessa il caso generale con $n!=m$
Comunque ecco il caso particolare:
$ n*root(2)(2)+ n*root(2)(3) = n*(root(2)(2)+ root(2)(3))$
da cui si ottiene la contraddizione:
$ (root(2)(2)+ root(2)(3))= p /(n*q)$
TENTATIVO 2)
Non so se può servire ma tentando questa dimostrazione ho trovato che:
$ n*root(2)(2)+ m*root(2)(3) != 0 $
per ogni n,m interi perchè altrimenti potrebbe ottenersi la seguente contraddizione:
$ n/m=root(2)(3/2)$
TENTATIVO 3)
Altro tentativo che ho fatto è vedere se si poteva dimostrare che ad essere irrazionale fosse:
$ n*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$
per ogni n intero.
Ho provato a dimostrarlo per induzione sfruttando il fatto che:
$ 1*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$ è irrazionale,
ma supponendo che :
$ n*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$ è irrazionale,
esce fuori che :
$ (n+1)*root(2)(2)+ 1*root(2)(3)$ può invece essere razionale.
RICHIESTA
C'è qualcuno che è in grado di risolvere il problema iniziale, magari il prima possibile????
Non credo debba essere difficile
Risposte
Supponiamo $n*sqrt{2}+m*sqrt{3}=p/q$ con $p,q,m,n in Z-{0}$
allora $2*n^2+3*m^2+2*sqrt{6}*n*m=p^2/q^2$
ma quindi $sqrt{6}=1/{2*n*m}*(p^2/q^2-2*n^2-3*m^2) in Q$ assurdo.
allora $2*n^2+3*m^2+2*sqrt{6}*n*m=p^2/q^2$
ma quindi $sqrt{6}=1/{2*n*m}*(p^2/q^2-2*n^2-3*m^2) in Q$ assurdo.
[mod="Martino"]Atomico73, benvenuto. Per favore metti un titolo più specifico (quello attuale è "Si può dimostrare che..." e non è specifico). Per farlo basta cliccare sul tasto "modifica" nel tuo intervento e modificare il titolo.[/mod]
"Mikk_90":
Supponiamo $n*sqrt{2}+m*sqrt{3}=p/q$ con $p,q,m,n in Z-{0}$
allora $2*n^2+3*m^2+2*sqrt{6}*n*m=p^2/q^2$
ma quindi $sqrt{6}=1/{2*n*m}*(p^2/q^2-2*n^2-3*m^2) in Q$ assurdo.
La tua dimostrazione mi sembra corretta.
Grazie.
Prego!
"atomico73":Ti confermo che lo è; in genere, con tali quesiti, si usa la tecnica di dimostrazione per assurdo (reductio ad absurdum).
...La tua dimostrazione mi sembra corretta...
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