Si possono esprimere tutti i numeri naturali come polinomi di secondo grado?

[P_1_6]

Si possono esprimere tutti i numeri naturali come polinomi di secondo grado?

[ghira1]

Puoi farci qualche esempio?

[P_1_6]

sia x=X un numero naturale
Data la relazione
$x=1/8*(2*H-(X^2-7*X))$
dove $H=(N^2-1)/8$ ed $N^2=(2*x+1)^2=(2*X+1)^2$

[vediamo solo i numeri dispari , per i pari è un po diverso ]

se $H mod 4 =1$
solve $x=1/8*(2*H-(X^2-7*X))$,$X=8*n+1$,$x$,$X$
se $H mod 4 =2$
solve $x=1/8*(2*H-(X^2-7*X))$,$X=8*n+3$,$x$,$X$
se $H mod 4 =3$
solve $x=1/8*(2*H-(X^2-7*X))$,$X=8*n+5$,$x$,$X$
se $H mod 4 =0$
solve $x=1/8*(2*H-(X^2-7*X))$,$X=8*n+7$,$x$,$X$



Esempio

supponiamo di dover scrivere $X=187$ come polinomio di grado due in funzione della variabile $n$ e cioè $x=a*n^2+b*n+c$

$H=(N^2-1)/8=((2*X+1)^2-1)/8=17578$

$187 mod 8 =3$ quindi $X=8*n+3$

solve $x=1/8*(2*17578-(X^2-7*X))$,$X=8*n+3$,$x$,$X$

$->$

$x=-8*n^2+n+4396$ che per $n=23$ è uguale a $187$

[Studente Anonimo]

Se invece prendiamo $n^2+n+185$, questo polinomio per $n=1$ viene uguale a $187$. Non è più semplice così?

[P_1_6]

si

[gugo82]

Non è più semplice così: $(n+2)^2 - n^2 -3n -4$?

[axpgn]

Ma quello è un polinomio di secondo grado? Per essere di secondo grado un polinomio generico come $ax^2+bx+c$ non dovrebbe avere $a!=0$ ?

[P_1_6]

Alziamo l'asticella:
ogni numero naturale può essere scritto come un polinomio di grado $2^m$ con $m$ numero naturale

[Studente Anonimo]

"P_1_6":Alziamo l'asticella:
ogni numero naturale può essere scritto come un polinomio di grado $2^m$ con $m$ numero naturale

Se ho il numero naturale $n$ allora il polinomio (di grado $2^m$)

$P(X)=X^(2^m)+n-1$

soddisfa $P(1)=n$, cioè sostituendo $X=1$ si ottiene proprio $n$

[P_1_6]

"Martino":[quote="P_1_6"]Alziamo l'asticella:
ogni numero naturale può essere scritto come un polinomio di grado $2^m$ con $m$ numero naturale

Se ho il numero naturale $n$ allora il polinomio (di grado $2^m$)

$P(X)=X^(2^m)+n-1$

soddisfa $P(1)=n$, cioè sostituendo $X=1$ si ottiene proprio $n$

[/quote]

Bravo!

e con tutti i coefficienti non nulli e ogni coefficiente diverso dall'altro ?

[Studente Anonimo]

Guarda, per come hai posto il problema si può fare molto di meglio: se $P(X)$ è il tuo polinomio preferito (a coefficienti interi) e $n$ è il tuo intero preferito allora il seguente polinomio

$Q(X) = P(X)-P(n)+n$

valutato in $X=n$ restituisce proprio $n$, infatti

$Q(n) = P(n)-P(n)+n = n$.