Sharply k-transitività, una semplice equivalenza.
Ciao ragazzi,
ho un problema con una dimostrazione, che dovrebbe essere banale, ma non riesco, ahimè, ad arrivare al dunque.
Premetto, come mio solito, qualche definizione:
Definizione 1. Consideriamo un gruppo $G$ che agisce su un insieme $X$, $|X|=n$. (di seguito dirò che $X$ è un $G$-insieme) Diciamo $X$ $k$-transitivo se per ogni $k$-upla di elementi distinti $(x_1, ...,x_k)$ e $(y_1, ...,y_k)$ abbiamo che esiste un elemento $g\in G$ tale che $g(x_1, ...x_n)=(y_1, ...,y_k)$.
Definizione 2. Un $G$-insieme $X$ $k$-transitivo si dice strettamente $k$-transitivo se solo l'identità di $X$ ($id_x$) fissa $k$ elementi distinti di $X$.
Veniamo al risultato:
Proposizione: Se $X$ è un $G$-insieme $k$-transitivo e l'azione di $G$ è fedele su $X$, allora $X$ è un $G$-insieme strettamente $k$-transitivo. (in realtà vale anche il viceversa, ma ora non ci importa).
Ho provato a dimostrarlo per assurdo, supponendo che esista una permutazione di $G$ diversa dall'identità che fissa $k$ elementi distinti di $X$, ma non sono pervenuta a un assurdo, anzi, la dimostrazione dovrebbe apparire ancora più semplice. Sento davvero che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua.
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie.
ho un problema con una dimostrazione, che dovrebbe essere banale, ma non riesco, ahimè, ad arrivare al dunque.
Premetto, come mio solito, qualche definizione:
Definizione 1. Consideriamo un gruppo $G$ che agisce su un insieme $X$, $|X|=n$. (di seguito dirò che $X$ è un $G$-insieme) Diciamo $X$ $k$-transitivo se per ogni $k$-upla di elementi distinti $(x_1, ...,x_k)$ e $(y_1, ...,y_k)$ abbiamo che esiste un elemento $g\in G$ tale che $g(x_1, ...x_n)=(y_1, ...,y_k)$.
Definizione 2. Un $G$-insieme $X$ $k$-transitivo si dice strettamente $k$-transitivo se solo l'identità di $X$ ($id_x$) fissa $k$ elementi distinti di $X$.
Veniamo al risultato:
Proposizione: Se $X$ è un $G$-insieme $k$-transitivo e l'azione di $G$ è fedele su $X$, allora $X$ è un $G$-insieme strettamente $k$-transitivo. (in realtà vale anche il viceversa, ma ora non ci importa).
Ho provato a dimostrarlo per assurdo, supponendo che esista una permutazione di $G$ diversa dall'identità che fissa $k$ elementi distinti di $X$, ma non sono pervenuta a un assurdo, anzi, la dimostrazione dovrebbe apparire ancora più semplice. Sento davvero che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua.
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie.
Risposte
Mi sembra falso, per esempio il gruppo simmetrico [tex]S_n[/tex], che è 2-transitivo su [tex]X = \{1,\ldots,n\}[/tex], è fedele su [tex]X[/tex] ma non è strettamente 2-transitivo, per esempio ci sono un sacco di permutazioni non identiche che fissano 1 e 2.
Forse la tua ipotesi vera è che [tex]G[/tex] ha delle proprietà su [tex]X^k[/tex]?
Forse la tua ipotesi vera è che [tex]G[/tex] ha delle proprietà su [tex]X^k[/tex]?
Grazie, Martino, per la risposta : )
In effetti, che stupida, avevo un controesempio banale sotto gli occhi e non me ne sono accorta
Il problema nasce da qui. Sto studiando per conto mio il Rotman (An Introduction to the theory of groups) e a un certo punto l'autore recita: "the following conditions are equivalent for a faithful k-transitive G-set of degree n"
La prima condizione è appunto "X is sharply k-transitive".
Il punto che, almeno per me, provoca confusione, ma, che in parte, come notazione, mi è comoda, è che questo libro sintetizza il "$G$ agisce sull'insieme $X$" col "$X$ è un "$G$-insieme", perciò le azioni transitive, fedeli, ecc, su un insieme si trasformano in "$X$ è transitivo, fedele, ecc"
Perciò, non essendoci mai un $X^k$, ma sempre $X$, a me viene logico e spontaneo interpretare quel "faithful k-transitive G-set" come un $G$-insieme $X$ sul quale $G$ agisce fedelmente e $k$-transitivamente.
Forse l'interpretazione corretta di quel "faithful" sarebbe che se $g(x_1, ...,x_k)=(x_1, ...,x_k)$ per ogni $k$-upla di elementi distinti, allora $g$ è l'elemento neutro del gruppo. Spero di non aver detto una baggianata, domani verifico se così funziona.
In effetti, che stupida, avevo un controesempio banale sotto gli occhi e non me ne sono accorta
Il problema nasce da qui. Sto studiando per conto mio il Rotman (An Introduction to the theory of groups) e a un certo punto l'autore recita: "the following conditions are equivalent for a faithful k-transitive G-set of degree n"
La prima condizione è appunto "X is sharply k-transitive".
Il punto che, almeno per me, provoca confusione, ma, che in parte, come notazione, mi è comoda, è che questo libro sintetizza il "$G$ agisce sull'insieme $X$" col "$X$ è un "$G$-insieme", perciò le azioni transitive, fedeli, ecc, su un insieme si trasformano in "$X$ è transitivo, fedele, ecc"
Perciò, non essendoci mai un $X^k$, ma sempre $X$, a me viene logico e spontaneo interpretare quel "faithful k-transitive G-set" come un $G$-insieme $X$ sul quale $G$ agisce fedelmente e $k$-transitivamente.
Forse l'interpretazione corretta di quel "faithful" sarebbe che se $g(x_1, ...,x_k)=(x_1, ...,x_k)$ per ogni $k$-upla di elementi distinti, allora $g$ è l'elemento neutro del gruppo. Spero di non aver detto una baggianata, domani verifico se così funziona.
No, no, "X è fedele" vuol dire che è fedele l'azione di G su di lui. Hai interpretato tutto correttamente. Il problema è che stai cercando di dimostrare una cosa che non è enunciata nel Rotman.
Guarda: nel teorema che dici X è fedele per ipotesi:
Lui non sta dicendo che le frasi elencate sono vere, sta dicendo che sono equivalenti. C'è una bella differenza
Guarda: nel teorema che dici X è fedele per ipotesi:
Lui non sta dicendo che le frasi elencate sono vere, sta dicendo che sono equivalenti. C'è una bella differenza
Aaahhh, ecco, io traducevo malissimo quel "for", quindi calavo nella catena delle equivalenze quella che in realtà era solo l'ipotesi sotto cui, solo allora, quegli enunciati diventano equivalenti. Infatti mi pareva strano che la prima riga del teorema non fosse in elenco.
Bene, ora sì che le equivalenze sono semplici
Grazie ancora per l'aiuto e per la pazienza : )
Bene, ora sì che le equivalenze sono semplici
Grazie ancora per l'aiuto e per la pazienza : )
Di nulla ciao
ciao
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