Sezioni di Dedekind
Io so che una sezione di Dedekind $\alpha = (A,B)$ e' tale quando soddisfa le seguenti condizioni:
1) $A uu B = QQ$ e $A nn B = O/$ (quindi forma una partizione di $QQ$
2) $AAa in A < AAb in B$
3) $(AAa in A)(EEb in A > a)$
4) se $a in A$ e $b
se considero un qualsiasi numero positivo e definisco la sezione con $(CB,B := {b in B | b>0})$ dove $CB$ e' il complemento di $B$, e' corretto?
1) $A uu B = QQ$ e $A nn B = O/$ (quindi forma una partizione di $QQ$
2) $AAa in A < AAb in B$
3) $(AAa in A)(EEb in A > a)$
4) se $a in A$ e $b
se considero un qualsiasi numero positivo e definisco la sezione con $(CB,B := {b in B | b>0})$ dove $CB$ e' il complemento di $B$, e' corretto?
Risposte
"GundamRX91":
se considero un qualsiasi numero positivo e definisco la sezione con $(CB,B := {b in B | b>0})$ dove $CB$ e' il complemento di $B$, e' corretto?
Cosa vorresti fare/provare?
"GundamRX91":
$B := {b in B | b>0}$
Mi sembra un po' strano come insieme.
Forse intendevi questo:
Sia $c in QQ$ fissato. $B={b in QQ | b>c}
Vorrei definire una sezione di Dedekind che identifica un qualsiasi numero reale positivo, ecco perche' ho posto la classe superiore $B={b in B| b>0}$, sempre che abbia senso...
Quello che sto cercando di capire e' se le sezioni di Dedekind contengono o meno tutti i numeri "vicini" al numero reale che voglio rappresentare.
Faccio un esempio:
la $sqrt(2)$ la posso definire come la sezione in cui il primo elemento (sottoinsieme di $QQ$) contiene tutti i valori approssimati per difetto della $sqrt(2)$, mentre il secondo
elemento (sottoinsieme di $QQ$) contiene tutti i valori approssimati per eccesso di $sqrt(2)$, cioe':
$sqrt(2) = ({a in A | a > 0 ^^ a^2 < 2},{b in B | b > 0 ^^ b^2 > 2})$
quindi, provando a fare una definizione estensiva dei due sottoinsiemi avrei $sqrt(2) = ({1.4,1.42,1.424,1.4241, ...},{1.5,1.43,1.425,1.14249,...})$
ma per rappresentare un numero reale (razionale) come $7/4$ come dovrei fare?
Io ho fatto cosi': $7/4 = (A,B) = ({a in A | a > 0 vv a^2 < 49/16},{b in B | b > 0 ^^ b^2 > 49/16})
pero' cosi' ho due sottoinsiemi di $QQ$ di cui il primo contiene tutti i numeri da $0$ a $49/16$ e il secondo sottoinsieme con i numeri maggiori di $49/16$, quindi vado a generare una sezione che esclude il numero razionale $49/16$ o meglio $7/4$ che e' proprio il numero che voglio rappresentare. Cioe' per i numeri reali definiti da numeri razionali, si usano le sezioni di 1° specie che escludono il razionale da rappresentare, mentre con le sezioni di 2° specie, che non escludono nessun numero, si rappresenta un numero irrazionale ($sqrt(2)$)
A questo punto nel fare una normale addizione, con due sezioni di numeri razionali uso gli stessi numeri "esclusi" dalle sezioni stesse, mentre nel caso di sezioni di irrazionali cosa uso??? A seconda della precisione che mi interessa uso una qualsiasi approssimazione per difetto/eccesso dei relativi sottoinsiemi??
E se voglio definire un reale positivo irrazionale come faccio?? Sempre allo stesso modo di $sqrt(2)$ ??
Insomma mi sto un po' perdendo tra i meandri di Dedekind....
Faccio un esempio:
la $sqrt(2)$ la posso definire come la sezione in cui il primo elemento (sottoinsieme di $QQ$) contiene tutti i valori approssimati per difetto della $sqrt(2)$, mentre il secondo
elemento (sottoinsieme di $QQ$) contiene tutti i valori approssimati per eccesso di $sqrt(2)$, cioe':
$sqrt(2) = ({a in A | a > 0 ^^ a^2 < 2},{b in B | b > 0 ^^ b^2 > 2})$
quindi, provando a fare una definizione estensiva dei due sottoinsiemi avrei $sqrt(2) = ({1.4,1.42,1.424,1.4241, ...},{1.5,1.43,1.425,1.14249,...})$
ma per rappresentare un numero reale (razionale) come $7/4$ come dovrei fare?
Io ho fatto cosi': $7/4 = (A,B) = ({a in A | a > 0 vv a^2 < 49/16},{b in B | b > 0 ^^ b^2 > 49/16})
pero' cosi' ho due sottoinsiemi di $QQ$ di cui il primo contiene tutti i numeri da $0$ a $49/16$ e il secondo sottoinsieme con i numeri maggiori di $49/16$, quindi vado a generare una sezione che esclude il numero razionale $49/16$ o meglio $7/4$ che e' proprio il numero che voglio rappresentare. Cioe' per i numeri reali definiti da numeri razionali, si usano le sezioni di 1° specie che escludono il razionale da rappresentare, mentre con le sezioni di 2° specie, che non escludono nessun numero, si rappresenta un numero irrazionale ($sqrt(2)$)
A questo punto nel fare una normale addizione, con due sezioni di numeri razionali uso gli stessi numeri "esclusi" dalle sezioni stesse, mentre nel caso di sezioni di irrazionali cosa uso??? A seconda della precisione che mi interessa uso una qualsiasi approssimazione per difetto/eccesso dei relativi sottoinsiemi??
E se voglio definire un reale positivo irrazionale come faccio?? Sempre allo stesso modo di $sqrt(2)$ ??
Insomma mi sto un po' perdendo tra i meandri di Dedekind....
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