Serie di esercizi
A) sia $R$ un anello con unità moltiplicativa.
Se $R$ ha esattamente due ideali destri quali delle seguenti sono vere?
1) $R$ è commutativo
2)ogni elemnto di $R$ ha un inverso moltiplicativo (escluso l'unità additiva)$
3) $R$ è infinito
B) Sia $f$ funzione analitica di variabile complessa definita $f(z)=2x+3y +ig(x,y)$ dove $g$ è una funzione di 2 variabil reale. se $g(2,3)=1$ allora quanto vale $g(7,3)$? (forse mi mancano alcune basi di teoria)
C)Quanti interi positivi $k$ esistono tali che $k!$ ha esattamente 99 zeri nella sua espansione decimale? (questo è impossibile)
D) calcolare il valore minimo di $f(x,y,z)=x+4z$ come funzione definita su $RR^3$ soggetta al vincolo $x^2+y^2+z^2\leq 2$
so che devo applicare il metodo dei moltiplicatori di lagrange ma io l' ho sempre fatto con vincoli del tipo $F=0$ in questo caso ho $F\leq 0$ come devo procedere? cioè la mia $G(x,y,z,\lambda)$ a cosa è uguale?
grazie a tutti quelli mi daranno consigli
Se $R$ ha esattamente due ideali destri quali delle seguenti sono vere?
1) $R$ è commutativo
2)ogni elemnto di $R$ ha un inverso moltiplicativo (escluso l'unità additiva)$
3) $R$ è infinito
B) Sia $f$ funzione analitica di variabile complessa definita $f(z)=2x+3y +ig(x,y)$ dove $g$ è una funzione di 2 variabil reale. se $g(2,3)=1$ allora quanto vale $g(7,3)$? (forse mi mancano alcune basi di teoria)
C)Quanti interi positivi $k$ esistono tali che $k!$ ha esattamente 99 zeri nella sua espansione decimale? (questo è impossibile)
D) calcolare il valore minimo di $f(x,y,z)=x+4z$ come funzione definita su $RR^3$ soggetta al vincolo $x^2+y^2+z^2\leq 2$
so che devo applicare il metodo dei moltiplicatori di lagrange ma io l' ho sempre fatto con vincoli del tipo $F=0$ in questo caso ho $F\leq 0$ come devo procedere? cioè la mia $G(x,y,z,\lambda)$ a cosa è uguale?
grazie a tutti quelli mi daranno consigli
Risposte
Purtroppo non sono ing rado di dare aiuti per gli esercizi proposti, ma mi associo alla richiesta di idee sulla lettera C.
(L'anno scorso il prof. di Analisi 1 esordì: ragazzi se non mi sapete dire così ad occhio più o meno quanti zeri ha il fattoriale di 131 allora avete sbagliato aula!!! E purtroppo non sono ancora riuscito a venirne fuori
.)
(L'anno scorso il prof. di Analisi 1 esordì: ragazzi se non mi sapete dire così ad occhio più o meno quanti zeri ha il fattoriale di 131 allora avete sbagliato aula!!! E purtroppo non sono ancora riuscito a venirne fuori
.)
quanto al punto C), se si intende "zeri finali", nel senso di potenze del 10, è un conto [io penso sia 5, ma le possibili risposte possono essere 0 o 5], ma se si intende il numero di zeri anche all'interno... allora diventa veramente "folle"... ciao.
e come mai 5?
se non ho sbagliato i conti dovrebbero essere 400, 401, 402, 403, 404.
le possibili risposte 0 o 5 sono perché per "contare" i multipli di 10 sicuramente non contiamo i fattori 2 che sono tantissimi, ma contiamo i fattori 5. ammesso che $(k-1)!$ temina con meno di 99 zeri, e $k!$ è il primo numero a terminare con 99 zeri, vuol dire che k è multiplo di 5 ed il prossimo multiplo di 5 sarà (k+5). dunque $(k+5)!$ avrà più di 99 zeri finali, mentre k+1, k+2, k+3, k+4 hanno sempre nei loro fattoriali 99 zeri finali. il problema potrebbe essere che un tale k magari non esiste, perché ad esempio si può passare bruscamente da 98 a 100 se k è multiplo di 25 (o anche un salto di 3 cifre se è multiplo di 125).
io penso di aver trovato k=400, multiplo di 25 però nel senso che $399!$ dovrebbe avere 97 zeri finali. non potrei mettere la mano sul fuoco sul mio risultato. potete però provare. ciao.
le possibili risposte 0 o 5 sono perché per "contare" i multipli di 10 sicuramente non contiamo i fattori 2 che sono tantissimi, ma contiamo i fattori 5. ammesso che $(k-1)!$ temina con meno di 99 zeri, e $k!$ è il primo numero a terminare con 99 zeri, vuol dire che k è multiplo di 5 ed il prossimo multiplo di 5 sarà (k+5). dunque $(k+5)!$ avrà più di 99 zeri finali, mentre k+1, k+2, k+3, k+4 hanno sempre nei loro fattoriali 99 zeri finali. il problema potrebbe essere che un tale k magari non esiste, perché ad esempio si può passare bruscamente da 98 a 100 se k è multiplo di 25 (o anche un salto di 3 cifre se è multiplo di 125).
io penso di aver trovato k=400, multiplo di 25 però nel senso che $399!$ dovrebbe avere 97 zeri finali. non potrei mettere la mano sul fuoco sul mio risultato. potete però provare. ciao.
Per la A posso dirti questo.
Si ha che dato A anello unitario:
A è corpo <=> Ha come ideali destri [risp. sinistri] solo {1} e A
Quindi è sicuramente vera la 2)
per la 3) $ZZ//2ZZ$ è un controesempio: è anello, è campo => corpo => ha solo 2 ideali.
E' finito.
La 1) secondo me è falsa. Però per un controesempio dovrei trovare un corpo ad hoc, e non mi viene in mente.
Si ha che dato A anello unitario:
A è corpo <=> Ha come ideali destri [risp. sinistri] solo {1} e A
Quindi è sicuramente vera la 2)
per la 3) $ZZ//2ZZ$ è un controesempio: è anello, è campo => corpo => ha solo 2 ideali.
E' finito.
La 1) secondo me è falsa. Però per un controesempio dovrei trovare un corpo ad hoc, e non mi viene in mente.
i quaternioni non vanno bene? sono un corpo non commutativo, e i loro unici ideali sono quelli banali...o mi sbaglio?
(per quaternioni intendo i $a+bi+cj+dk$, $a,b,c,d\inRR$, $i, j, k$ t.c. $i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j$ o qualcosa del genere... non sono cose che ho molto fresche come si sarà capito)
(per quaternioni intendo i $a+bi+cj+dk$, $a,b,c,d\inRR$, $i, j, k$ t.c. $i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j$ o qualcosa del genere... non sono cose che ho molto fresche come si sarà capito)
per il punto D nella sfera "aperta" puoi usare il gradiente, al bordo $x^2+y^2+z^2=2$ puoi usare i moltiplicatori di lagrange come li usi sempre.
sul punto D) ho provato con un metodo alternativo, anche se non so se è rigorosissimo.
ve lo espongo, anche perché se non è del tutto errato qualcuno potrebbe perfezionarlo.
considerato che abbiamo una palla con centro nell'origine e raggio radice di 2 mentre la funzione da minimizzare è lineare in x e z, il presunto minimo si dovrebbe trovare nel piano y=0, sull'arco di circonferenza con x,z<0. scrivo $z=-sqrt(2-x^2)$ e la funzione da minimizzare diventa $g(x)=x-4sqrt(2-x^2)$. derivando ed uguagliando a zero si ha $x^2=2/17$, $z^2=32/17$ da cui il punto $P(-sqrt(2/17), 0, -4sqrt(2/17))$ e $f(x,y,z)=g(x)=-sqrt(34)$.
spero di essere stata chiara ed utile. ciao.
ve lo espongo, anche perché se non è del tutto errato qualcuno potrebbe perfezionarlo.
considerato che abbiamo una palla con centro nell'origine e raggio radice di 2 mentre la funzione da minimizzare è lineare in x e z, il presunto minimo si dovrebbe trovare nel piano y=0, sull'arco di circonferenza con x,z<0. scrivo $z=-sqrt(2-x^2)$ e la funzione da minimizzare diventa $g(x)=x-4sqrt(2-x^2)$. derivando ed uguagliando a zero si ha $x^2=2/17$, $z^2=32/17$ da cui il punto $P(-sqrt(2/17), 0, -4sqrt(2/17))$ e $f(x,y,z)=g(x)=-sqrt(34)$.
spero di essere stata chiara ed utile. ciao.
che vuol dire usare il gradiente sulla sfera aperta? mi trovo i punti che annullano il gradiente e studio l hessiano?
"miuemia":
che vuol dire usare il gradiente sulla sfera aperta? mi trovo i punti che annullano il gradiente e studio l hessiano?
si esatto la funzione è chiaramente $C^1$ quindi un massimo od un minimo in un aperto devono annullare il gradiente e verificare le giuste condizioni sull'hessiano. Al bordo il gradiente non funziona perchè "non controlli in tutte le direzioni" (passami questa affermazione
) e quindi utilizzi i moltiplicatori di lagrange.è analogo al caso unidimensionale se devi trovare i massimi o i minimi di una funzione in un intervallo controlli: i punti in cui la derivata è zero, i punti di non derivabilità e gli estremi.
Il metodo di ada sarebbe da provare in questo caso quello standard mi pare sufficentemente "facile" però non si può mai dire. io è tutto il giorno che faccio matematica e fare conti ora non è il caso
visto che è sabato poi!ciao
Per lo B) hai, dalle equazioni CR, il sistema di PDE
${((delg(x,y))/(delx)=2),((delg(x,y))/(dely)=-3):}$
con dato iniziale $g(2,3)=1$. La soluzione del sistema è $g(x,y)=-x+C(y-x)$, segue $C=3$.
${((delg(x,y))/(delx)=2),((delg(x,y))/(dely)=-3):}$
con dato iniziale $g(2,3)=1$. La soluzione del sistema è $g(x,y)=-x+C(y-x)$, segue $C=3$.
grazie mille rubik e tutti gli altri....
scusa elgiovo come ricavo quella soluzione? non l'ho mai fatto un sistema alle derivate parziali.
scusa elgiovo come ricavo quella soluzione? non l'ho mai fatto un sistema alle derivate parziali.
Io ho sommato le due equazioni, ottenendo $(delg(x,y))/(delx)+(delg(x,y))/(delx)=-1$ e poi sono andato un pò per tentativi.
"adaBTTLS":
se non ho sbagliato i conti dovrebbero essere 400, 401, 402, 403, 404.
le possibili risposte 0 o 5 sono perché per "contare" i multipli di 10 sicuramente non contiamo i fattori 2 che sono tantissimi, ma contiamo i fattori 5. ammesso che $(k-1)!$ temina con meno di 99 zeri, e $k!$ è il primo numero a terminare con 99 zeri, vuol dire che k è multiplo di 5 ed il prossimo multiplo di 5 sarà (k+5). dunque $(k+5)!$ avrà più di 99 zeri finali, mentre k+1, k+2, k+3, k+4 hanno sempre nei loro fattoriali 99 zeri finali. il problema potrebbe essere che un tale k magari non esiste, perché ad esempio si può passare bruscamente da 98 a 100 se k è multiplo di 25 (o anche un salto di 3 cifre se è multiplo di 125).
io penso di aver trovato k=400, multiplo di 25 però nel senso che $399!$ dovrebbe avere 97 zeri finali. non potrei mettere la mano sul fuoco sul mio risultato. potete però provare. ciao.
Scusa dato che non ho capito bene il ragionamento potresti dire qualche altra cosa? Comunque si si chiedevano gli zeri finali intesi come potenze di 10.
siccome parliamo di potenze di 10, possiamo anche distinguere i fattori primi 2 e 5. dalla definizione del fattoriale, per ogni fattore 5 che incontriamo ne abbiamo sicuramente incontrati di più di fattori 2. quindi mi disinteresso del contare i fattori 2 e conto i fattori 5:
ogni 5 numeri incontro un fattore 5,
ma ogni 25 numeri ne incontro due insieme, e ogni 125 numeri ne incontro 3 insieme.
per rendermi conto orientativamente fino a quale termine devo arrivare per incontrarne circa 100, mi riservo di contare a parte i "terzi fattori 5 dei multipli di 125" e mi concentro sugli altri: ogni 25 numeri incontro 6 (5+1) fattori 5. 100*25/6=416,67. se divido per 125 ottengo 3.33, il che significa che ci sono 3 multipli di 125 più piccoli di 416: 125, 250, 375.
da qui l'idea di contare i fattori 5 di 400!
400/25 * 6 = 96, ma dobbiamo aggiungere i 3 fattori dei multipli di 125 (solo 3 perché essendo multipli anche di 25, nel calcolo precedente sono stati calcolati già 2 fattori 5, però ne manca 1): 96+3=99. questo ci dice che, essendo 400 un multiplo di 5 (in particolare multiplo di 25 ma non di 125), 400 è il primo numero cercato, mentre 399! termina con 97 zeri, e da 400 a 404 i fattoriali terminano tutti con 99 zeri, mentre 405! termina con 100 zeri.
spero di aver chiarito anche e soprattutto l'affermazione secondo cui, anche senza fare alcun calcolo, potevo rispondere o 0 o 5: facendo i conti posso rispondere 5.
ciao.
ogni 5 numeri incontro un fattore 5,
ma ogni 25 numeri ne incontro due insieme, e ogni 125 numeri ne incontro 3 insieme.
per rendermi conto orientativamente fino a quale termine devo arrivare per incontrarne circa 100, mi riservo di contare a parte i "terzi fattori 5 dei multipli di 125" e mi concentro sugli altri: ogni 25 numeri incontro 6 (5+1) fattori 5. 100*25/6=416,67. se divido per 125 ottengo 3.33, il che significa che ci sono 3 multipli di 125 più piccoli di 416: 125, 250, 375.
da qui l'idea di contare i fattori 5 di 400!
400/25 * 6 = 96, ma dobbiamo aggiungere i 3 fattori dei multipli di 125 (solo 3 perché essendo multipli anche di 25, nel calcolo precedente sono stati calcolati già 2 fattori 5, però ne manca 1): 96+3=99. questo ci dice che, essendo 400 un multiplo di 5 (in particolare multiplo di 25 ma non di 125), 400 è il primo numero cercato, mentre 399! termina con 97 zeri, e da 400 a 404 i fattoriali terminano tutti con 99 zeri, mentre 405! termina con 100 zeri.
spero di aver chiarito anche e soprattutto l'affermazione secondo cui, anche senza fare alcun calcolo, potevo rispondere o 0 o 5: facendo i conti posso rispondere 5.
ciao.
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