Serie definite per ricorrenza
Avrei da risolvere la seguente serie:
Posto
$a_1 = 1,$ $a_(n+1) = e^(a_n)$
studiare il carattere della serie:
$\sum_{n=1}^infty 1/a_n$
Chi mi aiuta? Qualcuno conosce qualche particolare metodo per risolverla?
Posto
$a_1 = 1,$ $a_(n+1) = e^(a_n)$
studiare il carattere della serie:
$\sum_{n=1}^infty 1/a_n$
Chi mi aiuta? Qualcuno conosce qualche particolare metodo per risolverla?
Risposte
Ti dico la prima cosa che mi viene in mente... quella successione dovrebbe tendere a $+infty$ con andamento esponenziale o di ordine superiore. Quindi la serie converge. Ma c'è da verificare tutto di quello che ho detto, non sono sicuro.
"dissonance":
Ti dico la prima cosa che mi viene in mente... quella successione dovrebbe tendere a $+infty$ con andamento esponenziale o di ordine superiore. Quindi la serie converge. Ma c'è da verificare tutto di quello che ho detto, non sono sicuro.
Ti ringrazio tanto per l'intervento ma l'esercizio deve essere accompagnato da una risoluzione e vorrei anche comprendere il meccanismo di risoluzione delle serie definite per ricorrenza
Allora facciamo così. Il criterio di convergenza che ti sto consigliando di applicare è quello del confronto (eventualmente asintotico: poi vediamo). Presumo che tu lo conosca, in caso contrario sul tuo libro preferito lo trovi di sicuro.
Diamo quindi per assodato che, se abbiamo una successione $a_n>0$, $a_n\toinfty$, tale che $a_n>=e^n$ per ogni $n$, allora la serie $sum1/(a_n)$ converge. (Eventualmente, invece di $a_n>=e^n$, va bene anche una relazione asintotica).
Si tratta di dimostrare la disugualianza $a_n>=e^n$. Prova per induzione. Per $n=0$, $a_0=1>=e^0$. Per $n=1$, $a_1=e>=e^1$. Ci sono buone possibilità che sia vera per ogni $n$.
P.S.: Se non riesci a dimostrare questa disuguaglianza, oppure se non è proprio vera, prova a dimostrare una relazione al limite. Ma ad occhio mi pare più semplice dimostrare la disuguaglianza.
Diamo quindi per assodato che, se abbiamo una successione $a_n>0$, $a_n\toinfty$, tale che $a_n>=e^n$ per ogni $n$, allora la serie $sum1/(a_n)$ converge. (Eventualmente, invece di $a_n>=e^n$, va bene anche una relazione asintotica).
Si tratta di dimostrare la disugualianza $a_n>=e^n$. Prova per induzione. Per $n=0$, $a_0=1>=e^0$. Per $n=1$, $a_1=e>=e^1$. Ci sono buone possibilità che sia vera per ogni $n$.
P.S.: Se non riesci a dimostrare questa disuguaglianza, oppure se non è proprio vera, prova a dimostrare una relazione al limite. Ma ad occhio mi pare più semplice dimostrare la disuguaglianza.
Credo che la strada segnalata da dissonance vada più che bene (anche perchè $a_n$ "esplode" abbastanza velocemente).
Altrimenti, butto lì una mezza idea: evidentemente $a_n\to +oo$; col criterio del rapporto applicato alla nostra serie trovi $(1/a_(n+1))/(1/a_n)=a_n/e^(a_n)$ quindi $lim_n (1/a_(n+1))/(1/a_n)=lim_n a_n/e^(a_n)=0<1$ cosicché $\sum 1/a_n$ converge.
Altrimenti, butto lì una mezza idea: evidentemente $a_n\to +oo$; col criterio del rapporto applicato alla nostra serie trovi $(1/a_(n+1))/(1/a_n)=a_n/e^(a_n)$ quindi $lim_n (1/a_(n+1))/(1/a_n)=lim_n a_n/e^(a_n)=0<1$ cosicché $\sum 1/a_n$ converge.
vi ringrazio tanto.siete stati molto chiari. grazie ancora
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