Sequenza di cifre nel numero pi greco

[accasette]

Salve a tutti,
sono un nuovo utente e colgo l'occasione per presentarmi e per fare i complimenti a tutta la comunità per la passione e la competenza con le quali discute di argomenti tanto belli quanto complessi.
Premetto che non sono un matematico (sono laureato in fisica), quindi non prendetevela troppo se pongo la domanda in modo impreciso e non capisco le vostre risposte!
Vengo al punto...

Ho visto un video molto carino in cui un prof. di matematica affermava che nel numero \(\displaystyle \pi \) compare qualsiasi sequenza (finita) di cifre ci possa venire in mente. La cosa mi ha molto stupito e ho cominciato a rifletterci un po', arrivando ad un bivio: se penso al fatto che \(\displaystyle \pi \) è un numero irrazionale mi verrebbe da dire che l'affermazione è vera in quanto la probabilità che una data sequenza non compaia è pari a zero; ma questo non mi sembra sufficiente per dimostrare che TUTTE le (infinite) sequenze finite debbano comparirvi!

Se ad esempio pensassi ad un numero irrazionale nella cui espressione decimale non compaia mai la cifra 0, è chiaro che qualsiasi sequenza di cifre che contenga almeno uno 0 è impossibile da ottenersi. Quest'ultimo ragionamento è corretto? O è impossibile che un numero irrazionale possa rispettare una condizione simile?

PS il video di cui parlo non ha alcun valore accademico; ha solamente lo scopo di far apprezzare ai ragazzi la bellezza della matematica.

[kobeilprofeta]

penso che sia cosí: (detta brutta) dato che le cifre di pi sono molto casuali ed infinite, c'è prob zero che una seq finita non ci sia.

ma questo non è vero per qualsiasi numero irrazionale, infatti in z compaiono soli zeri e uni.

z=0.101001000100001000001000000100000001000000001...

[40rob]

"kobeilprofeta":penso che sia cosí: (detta brutta) dato che le cifre di pi sono molto casuali ed infinite, c'è prob zero che una seq finita non ci sia.

Però affermare che le cifre di Pi greco sono "molto casuali" che significa? Ogni cifra è determinata in Pi greco. La sequenza di Pi greco sembra una sequenza prodotta da un processo casuale ma non lo è davvero perciò potrebbe esser vero che certe sequenze di numeri finite non compariranno mai. Non so se sono mai state fatte dimostrazioni del genere su sequenze specifiche, a me sembra di no, altrimenti questi risultati sarebbero noti.
Tanto può esser vero quel che dice il professore, ogni sequenza prima o poi verrà fuori e verrà fuori un'infinità di volte perché dovranno venir fuori prima o poi tutte le soprasequenze sempre più grandi che la contengono, tanto potrebbe essere falso. Un numero irrazionale che contiene tutte le sequenze ovviamente esiste, ad esempio in base binaria, basta concatenare dopo la virgola 0, 0 1 00 01 10 11 000 001 010 011 ... poi completate le combinazioni a 3 si aggiungono le sequenze di 4 spazi, di 5 e così via. Non so però se si sappia con certezza che anche Pi greco è un numero che soddisfa questo requisito. Mi sembra che sia un problema aperto anche se probabilmente "sperimentalmente" hanno mostrato che sono presenti magari tutte le sequenze di 1, 2, 3 e 4 spazi, questa non è una prova definitiva. Forse manca sia una dimostrazione negativa "esiste almeno una sequenza che non compare mai in Pi greco" sia una dimostrazione affermativa "ogni sequenza prima o poi compare in Pi greco". Certo è che entrambe non possono essere vere.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mi risulta che sia un problema aperto, consiglio di dare una letta qui.

[accasette]

Ok, grazie a tutti per le dritte e i link!
Dunque, seppure \(\displaystyle \pi \) potrebbe non comprendere tutte le sequenze finite di cifre, il numero in formato binario citato in una risposta mi sembra che lo faccia!

[axpgn]

Nel link citato da Martino molti danno per assodato che esista un tale numero, anzi meglio, che si possa costruire tale numero e che di conseguenza esso contenga qualsiasi informazione o conoscenza: tutto il sapere universale.
Mi pare però che ciò non possa essere: come potrebbe "contenere" $pi$ ? Ed anche $e$ ? O mi sbaglio ?

Cordialmente, Alex

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Quello che mi pare dicano è che probabilmente $\pi$ contiene ogni sequenza finita, non ogni sequenza possibile. E' ovvio che non contiene ogni sequenza possibile, per esempio non contiene la sequenza infinita 11111.....

Un numero che contiene tutte le sequenze finite si costruisce facilmente: 0.12345678910111213141516...

[axpgn]

Non contestavo quello ma la conseguenza che ne traggono cioè che tale numero conterrebbe qualsiasi "cosa", informazione, conoscenza, ... ciò non mi pare vero come detto sopra ...

Cordialmente, Alex

[Paolo Passera]

quindi, dopo miliardi e miliardi di cifre composte dai numeri da 0 a 9, potrebbero comparire miliardi di miliardi di miliardi di miliardi, elevato alla potenza di miliardi di miliardi di miliardi di numeri 1?

[C0SIM0]

"Paolo Passera":quindi, dopo miliardi e miliardi di cifre composte dai numeri da 0 a 9, potrebbero comparire miliardi di miliardi di miliardi di miliardi, elevato alla potenza di miliardi di miliardi di miliardi di numeri 1?

Si, infinito è abbastanza spazioso da contenere cose "strane" ma non è detto che $\pi$ debba avere la proprietà descritta.

[2e543318e6a8602051219b452505a7c0b11de594]

"Paolo Passera":quindi, dopo miliardi e miliardi di cifre composte dai numeri da 0 a 9, potrebbero comparire miliardi di miliardi di miliardi di miliardi, elevato alla potenza di miliardi di miliardi di miliardi di numeri 1?

La prima parte non mi è chiara (nel sistema decimale tutti i numeri reali sono composti da cifre appartenenti a $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$), ma interpretando il senso della tua domanda la risposta è: assolutamente sì e non solo, accadrà pure un numero infinito di volte già solo considerando la citata costante Champernowne (cfr. la sequenza A033307 della OEIS - https://oeis.org/A033307).
Per capirci, poniamo che la tua domanda sia: "Mi dimostri che esiste almeno un numero irrazionale tale per cui nella sua rappresentazione decimale compaia la stringa $10^{g_{64}}-1$, dove $g_{64}$ è il numero di Graham (un qualcosa di immeso e inimmaginabilmente grande)?"
La risposta è: Sì, molto facile! Basta notare che, per costruzione, $10^{g_{64}}-1 := 9999 \ldots 99$ compare addirittura un numero infinito di volte nella costante Champernowne giacché $10^{g_{64}}-1 \equiv n*10^{g_{64}} + 10^{g_{64}}-1 (mod 10^{g_{64}})$ dove $n$ è libero scorrazzare liberamente per tutti gli interi positivi. Q.E.D.

[gugo82]