Seni algebrici
Salve 
Qual è l'insieme formato da angoli il cui seno è un numero algebrico?? Non sarebbe disdegnato un abbozzo di dimostrazione...
Qual è l'insieme formato da angoli il cui seno è un numero algebrico?? Non sarebbe disdegnato un abbozzo di dimostrazione...
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Ho letto il tuo post diversi giorni fa e visto che nessuno è intervenuto vogli fare qualche semplice considerazione.
se \( sin( \alpha) \) è algebrico allora anche \( cos( \alpha ) = \pm \sqrt{1-sin^2(\alpha)}\) è algebrico e quindi anche \( e^{i \alpha}=cos( \alpha)+isin(\alpha)\) è algebrico ( gli elementi algebrici formano un campo e \(i\) è algebrico su \(\mathbb{Q}\));
viceversa se \( e^{i\alpha}\) è algebrico allora anche il coniugato \( e^{-i\alpha}\) è algebrico e pertanto anche \( sin(\alpha), cos(\alpha)\) sono algebrici.
Quindi: \( sin(\alpha)\) è algebrico se e solo se \( cos(\alpha)\) è algebrico e \( sin(\alpha)\) è algebrico se e solo se \( e^{i\alpha}\) è algebrico
Se \( \alpha \neq 0\) è algebrico allora \( e^{i\alpha}\) è pure algebrico per il teorema di Lindemann:
Pertanto angoli algebrici non nulli non possono avere seni algebrici.
Quali sono gli angoli trascendenti che hanno seni algebrici ?
Ci sono angoli trascendenti con seni trascendenti. Infatti
Quindi per questo teorema possiamo dire che \( i^{\sqrt{2}}\) ha tutti i valori trascendenti, uno di questi valori è \( e^{\frac{\sqrt{2}}{2}\pi i}\) quindi \( sin(\frac{\sqrt{2}}{2}\pi )\) è trascendente ( \( \pi \) è trascendente per teo. Lindemann ).
In conclusione: solo angoli trascendenti possono avere seni algebrici, ma angoli trascendenti possono avere seni trascendenti.
Quali sono gli angoli trascendenti con seni algebrici ? Non lo so. Attendo anch'io una risposta da parte di utenti più competenti.
se \( sin( \alpha) \) è algebrico allora anche \( cos( \alpha ) = \pm \sqrt{1-sin^2(\alpha)}\) è algebrico e quindi anche \( e^{i \alpha}=cos( \alpha)+isin(\alpha)\) è algebrico ( gli elementi algebrici formano un campo e \(i\) è algebrico su \(\mathbb{Q}\));
viceversa se \( e^{i\alpha}\) è algebrico allora anche il coniugato \( e^{-i\alpha}\) è algebrico e pertanto anche \( sin(\alpha), cos(\alpha)\) sono algebrici.
Quindi: \( sin(\alpha)\) è algebrico se e solo se \( cos(\alpha)\) è algebrico e \( sin(\alpha)\) è algebrico se e solo se \( e^{i\alpha}\) è algebrico
Se \( \alpha \neq 0\) è algebrico allora \( e^{i\alpha}\) è pure algebrico per il teorema di Lindemann:
Teorema di Lindemann
Se \(\alpha \) è un numero algebrico diverso da zero allora \( e^{\alpha}\) è trascendente.
Pertanto angoli algebrici non nulli non possono avere seni algebrici.
Quali sono gli angoli trascendenti che hanno seni algebrici ?
Ci sono angoli trascendenti con seni trascendenti. Infatti
Teorema di Gelfond -Schneider
Se \( \alpha\) è un numero algebrico diverso da \( 0,1\) e \( \beta\) è algebrico irrazionale allora \( \alpha^{\beta}\) è trascendente.
Quindi per questo teorema possiamo dire che \( i^{\sqrt{2}}\) ha tutti i valori trascendenti, uno di questi valori è \( e^{\frac{\sqrt{2}}{2}\pi i}\) quindi \( sin(\frac{\sqrt{2}}{2}\pi )\) è trascendente ( \( \pi \) è trascendente per teo. Lindemann ).
In conclusione: solo angoli trascendenti possono avere seni algebrici, ma angoli trascendenti possono avere seni trascendenti.
Quali sono gli angoli trascendenti con seni algebrici ? Non lo so. Attendo anch'io una risposta da parte di utenti più competenti.
"totissimus":
[...]
Quali sono gli angoli trascendenti con seni algebrici ? Non lo so. Attendo anch'io una risposta da parte di utenti più competenti.
Diciamo che la risposta può essere abbastanza ovvia, se pensi che [tex]\displaystyle \sin(\frac{\pi}{2}) =0[/tex]
Lord K :Quindi quali sono gli angoli trascendenti con seni algebrici ?
\( sin(e^{\pi})\) è algebrico o trascendente ?
\( sin(e^{\pi})\) è algebrico o trascendente ?
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