Semplificare equazioni congruenziali
in alcuni forum i moderatori preferiscono che si uppi un topic già esistente su un certo argomento per evitare thread doppi o tripli.
qui non è prassi quindi mi adeguo alle direttive della moderazione.
chiedevo: come si semplica un'equazione congruenziale?
cito un esempio dal libro:
$7x≡−1 (6)$ cioè $x≡5 (6)$
oppure un altro caso:
$37+42k≡0 (5) ⇒ 2+2k≡0 (5) ⇒ k≡−1 (5)≡4 (5)$
come fa a "semplificare"?
grazie a chi vorrà rispondermi.
qui non è prassi quindi mi adeguo alle direttive della moderazione.
chiedevo: come si semplica un'equazione congruenziale?
cito un esempio dal libro:
$7x≡−1 (6)$ cioè $x≡5 (6)$
oppure un altro caso:
$37+42k≡0 (5) ⇒ 2+2k≡0 (5) ⇒ k≡−1 (5)≡4 (5)$
come fa a "semplificare"?
grazie a chi vorrà rispondermi.
Risposte
Per quanto riguarda il primo caso è semplice. Tu il 7 lo puoi vede come uno,perchè 7 diviso 6,ti da resto uno. Il trucco sta nel pensare quei coefficienti come classi di equivalenza. Quando non c'è scritto esplicitamente è più difficile. Detto ciò, prova a semplificare e se non va bene,ti correggo! 
cioè sostituisco al coefficiente la classe di resto?
ma come mi comporto con il secondo membro?
ho trovato altri due esempi che non mi sono chiari (calcolo degli inversi). ne cito uno:
$9x \equiv 1 (5)$: la sol. è ad occhio 4 ma se provo a risolvere la corrispondente eq. diofantea $9x+5y=1$ mi risulta $x=-1$.
c'è qualche procedimento specifico quando si calcola un'incognita $x \equiv 1 (n)$?
rigrazie.
ma come mi comporto con il secondo membro?
ho trovato altri due esempi che non mi sono chiari (calcolo degli inversi). ne cito uno:
$9x \equiv 1 (5)$: la sol. è ad occhio 4 ma se provo a risolvere la corrispondente eq. diofantea $9x+5y=1$ mi risulta $x=-1$.
c'è qualche procedimento specifico quando si calcola un'incognita $x \equiv 1 (n)$?
rigrazie.
Sciogliamo un dubbio per volta!
Perchè la soluzione $x=-1$ non dovrebbe andare bene?
Tu non sostituisci nel senso che intendi tu! Tu alla fine i coefficienti altro non sono che un membro della classe dei resti,quindi cambiando rappresentante non cambia niente,ti trovi?
Per quanto riguarda la tua ultima domanda,non so niente a riguardo! Però ad occhio già puoi dire che una soluzione è $n+1$.
Perchè la soluzione $x=-1$ non dovrebbe andare bene?
Tu non sostituisci nel senso che intendi tu! Tu alla fine i coefficienti altro non sono che un membro della classe dei resti,quindi cambiando rappresentante non cambia niente,ti trovi?
Per quanto riguarda la tua ultima domanda,non so niente a riguardo! Però ad occhio già puoi dire che una soluzione è $n+1$.
in effetti $x=-1$ parrebbe essere una soluzione.
l'equazione è nel sistema:
$x \equiv 7 (9)$
$x \equiv 3 (5)$
da cui la soluzione è $c=y*7*5+x*3*9$ con $x$ inverso di 5 modulo 9 e $y$ inverso di 9 modulo 5. quindi:
$9y \equiv 1 (5)$
$5x \equiv 1 (9)$
e
$y=4$
$x=2$
dunque la mia soluzione $-1$ è giusta per l'equazione $9x+5y=1$ ma non per il sistema.
non capisco.
l'equazione è nel sistema:
$x \equiv 7 (9)$
$x \equiv 3 (5)$
da cui la soluzione è $c=y*7*5+x*3*9$ con $x$ inverso di 5 modulo 9 e $y$ inverso di 9 modulo 5. quindi:
$9y \equiv 1 (5)$
$5x \equiv 1 (9)$
e
$y=4$
$x=2$
dunque la mia soluzione $-1$ è giusta per l'equazione $9x+5y=1$ ma non per il sistema.
non capisco.
Per calcolare l'inverso moltiplicativo devi sapere che , in generale, nell'anello degli interi modulo $n$: $(ZZ_n,+,*)$, non tutti
gli elementi ammettono inverso moltiplicativo, mentre se $n$ è un numero primo allora l'anello "diventa" un campo, quindi
ogni elemento non nullo di $ZZ_n$ ammette inverso moltiplicativo.
Trovare l'inverso moltiplicativo modulo $n$ significa risolvere un'equazione del tipo $ax-=1_(mod n)$, che puoi anche
vedere sotto forma di classe dei resti: $[a][x]=[1]_n$, quindi devi trovare una $x$ che moltiplicata per un generico
elemento $[a]_n in ZZ_n$ dia come risultato $[1]$. Ritornando all'equazione congruenziale, tu sai che questa ammette
soluzione se $(a,n)=1$, cioè i due elementi sono tra loro coprimi; $ax-=1_(mod n)$ significa che $n|ax-1$ da cui
$EE y in ZZ$ tale che $ax-1=ny$ e $ax - ny = 1$, da cui, con facili calcoli, trovi i valori di $x$ e $y$. Il valore di $x$ è il tuo
inverso moltiplicativo che usi per semplificare l'equazione congruenziale $ax-=1_(mod n)$: moltiplichi a destra e a
sinistra per $x$, quindi ottieni $x-=1*x_(mod n)$ (dove la $x$ a secondo membro è quella trovata prima, ok?
)
gli elementi ammettono inverso moltiplicativo, mentre se $n$ è un numero primo allora l'anello "diventa" un campo, quindi
ogni elemento non nullo di $ZZ_n$ ammette inverso moltiplicativo.
Trovare l'inverso moltiplicativo modulo $n$ significa risolvere un'equazione del tipo $ax-=1_(mod n)$, che puoi anche
vedere sotto forma di classe dei resti: $[a][x]=[1]_n$, quindi devi trovare una $x$ che moltiplicata per un generico
elemento $[a]_n in ZZ_n$ dia come risultato $[1]$. Ritornando all'equazione congruenziale, tu sai che questa ammette
soluzione se $(a,n)=1$, cioè i due elementi sono tra loro coprimi; $ax-=1_(mod n)$ significa che $n|ax-1$ da cui
$EE y in ZZ$ tale che $ax-1=ny$ e $ax - ny = 1$, da cui, con facili calcoli, trovi i valori di $x$ e $y$. Il valore di $x$ è il tuo
inverso moltiplicativo che usi per semplificare l'equazione congruenziale $ax-=1_(mod n)$: moltiplichi a destra e a
sinistra per $x$, quindi ottieni $x-=1*x_(mod n)$ (dove la $x$ a secondo membro è quella trovata prima, ok?
)
Per la soluzione di sistemi di equazioni congruenziali puoi usare il teorema cinese dei resti 
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