Semplici es. su estensioni di campi

[Seneca1]

Vorrei alcune conferme sui seguenti esercizi:

1) Qual è il campo di spezzamento di $p(x) = x^2 + 3 \in QQ[x]$ ?

$x^2 + 3 = 0$ $\Rightarrow$ $x = +- i sqrt(3)$

sicché il campo di spezzamento di $p$ dovrebbe essere $QQ(i sqrt(3))$. Inoltre posso dire che $QQ(sqrt(3), i) \ne QQ(i sqrt(3))$; infatti $sqrt(3) \notin QQ(i sqrt(3))$. Corretto?

2) Trovare il polinomio minimo di $sqrt(15)$ su $QQ( sqrt(2) , sqrt(5) , sqrt(6) )$.

A me sembra sia $p(t) = t - sqrt(15)$. Infatti $sqrt(2 * 6 * 5) = 2 sqrt( 15 ) \in QQ( sqrt(2) , sqrt(5) , sqrt(6) ) $. Corretto?

Grazie.

[Paolo902]

Mi paiono entrambi corretti.

[Seneca1]

Ciao Paolo! Ti ringrazio.

[Seneca1]

Ho un altro problema. Stabilire che, dato $a \in RR$ algebrico su $QQ$ tale che il polinomio minimo di $a$ su $QQ$ ha grado 3, $a^2$ è algebrico su $QQ$ ed il suo polinomio minimo ha grado 3.

Naturalmente $QQ(a^2) \subset QQ(a)$ e $QQ(a) = QQ(a^2)$. Per il teorema della torre di campi si ha:
\[ \underbrace{[ \mathbb{Q}(a) : \mathbb{Q} ]}_{\text{dim}_\mathbb{Q} \mathbb{Q}(a)} = [ \mathbb{Q}(a^2)(a) : \mathbb{Q}(a^2) ] \cdot [ \mathbb{Q}(a^2) : \mathbb{Q} ]\]
ovvero
\[ 3 = [ \mathbb{Q}(a^2)(a) : \mathbb{Q}(a^2) ] \cdot [ \mathbb{Q}(a^2) : \mathbb{Q} ]\]
Ma $[ \mathbb{Q}(a^2)(a) : \mathbb{Q}(a^2) ] = 2$, giacché $x^2 - a^2 \in QQ(a^2)[x]$ è il polinomio minimo di $a$. Dunque troverei una sciocchezza, cioè che il grado $n$ del polinomio minimo di $a^2$ su $QQ$ è tale che $2 n = 3$. Dove sbaglio?

[Gi81]

Credo che l'errore sta qui:

"Seneca":Ma $[ \mathbb{Q}(a^2)(a) : \mathbb{Q}(a^2) ] = 2$, giacché $x^2 - a^2 \in QQ(a^2)[x]$ è il polinomio minimo di $a$.

Direi che si può dimostrare che $a in QQ(a^2)$, da cui $[ \mathbb{Q}(a^2)(a) : \mathbb{Q}(a^2) ] = 1$.
Come si può dimostrare?
Il polinomio minimo di $a$ in $QQ[x]$ è un certo $p(x)= x^3+beta_1x^2+beta_2x+beta_3 in QQ[x]$ (irriducibile)
Questo significa che $a^3 = -(beta_1a^2+beta_2a+beta_3)$.
Ora, certamente $a^4 in QQ(a^2)$, ma $a^4 = -a*(beta_1a^2+beta_2a+beta_3)= -beta_1 a^3 -beta_2 a^2 -beta_3 a= beta_3(beta_1a^2+beta_2a+beta_3)-beta_2 a^2 -beta_3 a $.
Dunque \[ a^4 = \left( \beta_3 \beta_1 -\beta_2 \right)a^2 +{\beta_3}^{2} + \left( \beta_3 \beta_2 -\beta_3\right)a \]
Questo significa che $beta_3(beta_2-1)a in QQ(a^2)$. Ora, certamente $beta_3 !=0$ (altrimenti $p(x)$ non sarebbe irriducibile). Supponiamo che $beta_2 !=1$. Si ha pertanto $a in QQ(a^2)$.

Se invece $beta_2=1$, abbiamo $a^3+beta_1 a^2 + a +beta_3=0$, dunque $a^3+a in QQ(a^2)$, cioè $a(a^2+1) in QQ(a^2)$.
Dato che $a^2+1 in QQ(a^2)$ (e certamente è diverso da $0$), si ha $a in QQ(a^2)$.

Spero di non aver commesso errori

[totissimus]

Propongo una diversa soluzione.

\( \displaystyle f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C \in \mathbb{Q}[x]\) polinomio minimo di \( a\)

[1] \( \displaystyle a^3+Aa^2+Ba+C=0\)

Il grado di \( a^2\) non è maggiore di \(3\) in quanto \( \displaystyle a^2 \in \mathbb{Q}(a)\)

Se il grado di \( a^2\) fosse uguale a \( 1\) allora sarebbe \( a^2 \in \mathbb{Q} \) e \( a\) avrebbe grado uguale a \( 1\) o \( 2\).

Se il grado di \( a^2\) fosse uguale a \( 2\) avremmo:

[2] \( \displaystyle a^4+\alpha a^2+\beta=0\) con \( \alpha, \beta \in \mathbb{Q}\)

\( \displaystyle p(x)=x^4+\alpha x^2+\beta \) irriducibile su \( \mathbb{Q}[x]\)

Combinando [1] e [2] otteniamo:

\( \displaystyle a(-A a^2-Ba-C)+\alpha a^2+\beta=0\)

\( \displaystyle Aa^3+(\alpha-B)a^2+Ca+\beta=0\)

Per l'unicità del polinomio minimo:

\( \displaystyle \frac{\alpha-B}{A}=A, \frac{C}{A}=A \frac{\beta}{A}=C\)

quindi

\( \displaystyle p(x)=x^4+(B+A^2)x^2+AC=x^4+(B+A^2)x^2+a^2B=(x^2+B)(x^2+A^2)\) contro l'ipotesi di irriducibilità di \( p(x)\).

Quindi il grado di \( a^2\) deve essere uguale a \( 3\).

[Seneca1]

@ Gi8: Grazie mille! ... Ecco dov'era la cantonata.

@ totissimus: E' bene accetta, ringrazio anche te. Appena ho un attimo di tregua la leggerò.